第2课时 平行四边形判定定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是 ( )
A.OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=1.5 B.OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=2.5
C.OA=2,OB=1.5,OC=2,OD=1.5 D.OA=1.5,OB=2,OC=2.5,OD=2
2.已知△ABC(如图1),按图2、图3所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
图1 图2 图3
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.如图,在四边形ABCD中,AO=OC,BD=6 cm,那么当OB= cm时,四边形ABCD是平行四边形.
4.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图所示,将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是 .
5.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠ DCO.
求证:四边形AECD是平行四边形.
6.已知:如图,在四边形ABCD中,M是边BC的中点,AM,BD互相平分且交于点O.
求证:四边形AMCD是平行四边形.
7.(2024锦州月考)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,G,H分别是OB,OD的中点,过点O的直线分别交BC,AD于点E,F.
求证:四边形GEHF是平行四边形.
1.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上一动点,以PA,PC为邻边作 PAQC,则对角线PQ长度的最小值为 ( )
A.6 B.8 C.2 D.4
2.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),要使四边形ABCD成为平行四边形,则点D的坐标为 .
3.如图,在 ABCD中,两条对角线交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 个.
4.已知:如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O分别作两条直线,交AD,BC,AB,CD于E,F,G,H四点.
求证:四边形EGFH是平行四边形.
5.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,E,F分别为垂足.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)如果AE=6,EF=8,求AC的长.
6.(推理能力)已知:如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD交BD于点O,且BO=DO,OE⊥AB,OF⊥AD,垂足分别为E,F.
(1)求证:△ABD是等腰三角形.
(2)若BA=BC,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.B 3.3
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.证明:在△AOE和△COD中,
∴△AOE≌△COD(ASA),
∴OE=OD.
又∵AO=CO,
∴四边形AECD是平行四边形.
6.证明:连接DM,如图所示,
∵AM,BD互相平分且交于点O,
即AO=OM,BO=DO,
∴四边形ABMD为平行四边形,
∴AD=BM,AD∥BM.
又∵M为BC的中点,
∴BM=CM,
∴AD=MC,AD∥MC,
∴四边形AMCD为平行四边形.
7.证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BO=DO,AD=BC,且AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO.
在△FOD和△EOB中,∠FDO=∠EBO,DO=BO,∠FOD=∠EOB,
∴△FOD≌△EOB(ASA),
∴FO=EO.
又∵G,H分别为OB,OD的中点,
∴GO=HO,
∴四边形GEHF是平行四边形.
课后提升
1.D 解析:设AC,PQ交于点O,如图所示,
∵四边形PAQC是平行四边形,∴AO=CO,OP=OQ.∵PQ最短也就是PO最短,∴过点O作OP'⊥AB于点P'.
∵∠BAC=45°,∴△AP'O是等腰直角三角形.∵AO=AC=×8=4,∴由勾股定理可得OP'=2,∴PQ的最小值=2OP'=4.故选D.
2.(0,3) 解析:∵点A(-2,0),B(0,-3),C(2,0),∴OA=2,OB=3,OC=2,∴OA=OC,当OD=OB=3时,四边形ABCD成为平行四边形,∴点D的坐标为(0,3).
3.4 解析:根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可判定四边形EFGH是平行四边形;根据SAS可分别证明△AHD≌△CFB,△AFB≌△CHD,可得AH=CF,AF=CH,∴四边形AHCF是平行四边形;同理可得四边形BGDE是平行四边形,∴以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH,四边形ABCD,四边形AHCF,四边形BGDE,共有4个.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AEO和△CFO中,AO=CO,∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴EO=FO,
同理可得△BGO≌△DHO(AAS),
∴GO=HO,
∴四边形EGFH是平行四边形.
5.解:(1)证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,
∴AE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=CB,
∴∠ADE=∠CBF,
∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)知,四边形AECF是平行四边形,
∴OE=OF=EF=4,OA=OC.
∵AE=6,AE⊥BD,
∴AO==2,
∴AC=2AO=4.
6.证明:(1)∵AC平分∠BAD,OE⊥AB,OF⊥AD,∴OE=OF,
在Rt△OBE和Rt△ODF中,OB=OD,OE=OF,
∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL),
∴∠OBE=∠ODF,
∴AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
(2)∵AB=AD,AC平分∠BAD,
∴BO⊥AC.
∵BA=BC,∴OC=OA,
又∵BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择
平行线间的距离
1.如图, 直线m∥n,下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离 ( )
A.只有AB B.只有AE
C.AB和CD均可 D.AE和CF均可
2.如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为 .
3.如图,M为 ABCD的边AD上一点,若S ABCD=16 cm2,则△MBC的面积为 cm2.
4.(2024长春期末)如图,四边形ABCD是一个平行四边形,BE⊥CD于点E,BF⊥AD于点F,
(1)请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离.
(2)若BE=2 cm,BF=4 cm,写出平行线AB与CD之间的距离.
平行四边形判定方法的选择
5.(2024乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
6.在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,∠ABC=80°,则∠ADC= °.
7.(开放性试题)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,若要判定四边形ABCD为平行四边形,在不添加辅助线的前提下只添加一个条件,则这个条件可以为 .
8.如图,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
1.如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,E,G为垂足,则下列说法中错误的是 ( )
A.CE∥FG
B.CE=FG
C.A,B两点的距离就是线段AB的长
D.直线a,b间的距离就是线段CD的长
2.如图,已知△ABC的面积为12,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BF=4CF,四边形DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图,A,B是直线m上两个定点,C是直线n上一个动点,且m∥n.以下说法:
①△ABC的周长不变;②△ABC的面积不变;③△ABC中,AB边上的中线长不变;④∠ACB的度数不变;⑤点C到直线m的距离不变.其中正确的有 (填序号).
4.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD之间的距离是12 cm,EF与CD之间的距离是5 cm,则AB与EF之间的距离等于 cm.
5.如图,已知直线m平行于直线n,A,B为直线n上两点,C,P为直线m上两点,AC与BP交于点G.
(1)请写出图中面积相等的三角形.
(2)若A,B,C为三个定点,点P在直线m上移动,那么无论点P移动到任何位置,△ABP与△ABC的面积总相等,请说明理由.
6.(推理能力)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
请回答下列问题:
(1)对以上方案的判断,你认为正确的是 ( )
A.甲方案可行,乙方案不可行 B.甲方案不可行,乙方案可行
C.甲、乙两方案均可行 D.甲、乙两方案均不可行
(2)选择其中一种你认为正确的方案进行证明,若以上两种方案均不可行,也可以自行设计一种方案进行说明.
(3)在乙方案中,若EF=3AE,S△AED=10,则 ABCD的面积为 .
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.20 3.8
4.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵BF⊥AD,
∴BF⊥BC,
∴平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∵BE⊥CD,
∴BE⊥AB,
∴平行线AB与CD之间的距离是线段BE的长度,为2 cm.
5.D 6.80
7.AB∥CD(答案不唯一)
8.证明:如图,连接BD交AC于点O,
∵GE∥BH交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,
∴四边形GBHD是平行四边形,
∴GH与BD互相平分,
∴GO=HO,BO=DO.
∵G,H是△ABC的边AC的三等分点,
∴AG=HC,
∴AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
课后提升
1.D 解析:A.∵CE⊥b,FG⊥b,∴CE∥FG,正确;B.∵a∥b,FG∥CE,∴四边形FGEC是平行四边形,∴CE=FG,正确;C.A,B两点的距离就是线段AB的长,正确;D.直线a,b间的距离就是线段CE或线段FG的长,不是线段CD的长,原说法错误.故选D.
2.C 解析:如图,连接EC,过点A作AM∥BC交FE的延长线于点M,∵四边形DCFE是平行四边形,∴DE∥CF,EF∥CD,∴AM∥DE∥CF,AC∥FM,∴四边形ACFM是平行四边形.∵△BDE的边DE上的高和△CDE的边DE上的高相等,∴△BDE的面积和△CDE的面积相等,∴阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半,即×CF×hCF.∵△ABC的面积是12,BF=4CF,∴BC×hBC=×3CF×hCF=12,∴CF×hCF=8,∴阴影部分的面积是×8=4.故选C.
3.②⑤ 解析:当点C运动时,AC+BC的值不固定,∴△ABC的周长不确定,∴①错误;∵m∥n,∴点C到AB的距离不变,设距离为d,则△ABC的面积=AB·d,∴△ABC的面积不变,∴②正确;当点C运动时,连接点C和AB的中点的线段的长发生变化,∴③错误;当点C运动时,∠ACB的度数发生变化,∴④错误;∵m∥n,∴点C到直线m的距离不变,∴⑤正确.
4.7或17 解析:分两种情况:①当EF在AB,CD之间时,如图1所示.
图1
∵AB与CD之间的距离是12 cm,EF与CD之间的距离是5 cm,∴AB与EF之间的距离为12-5=7(cm).
②当AB,CD在EF同侧时,如图2所示.
图2
∵AB与CD之间的距离是12 cm,EF与CD之间的距离是5 cm,∴AB与EF之间的距离为12+5=17(cm).综上所述,AB与EF之间的距离为7或17 cm.
5.解:(1)△ABC与△ABP,△APC与△BPC,△APG与△BCG.
(2)理由如下:∵平行线间的距离处处相等,∴无论点P在直线m上移动到任何位置,△ABP与△ABC总是同底等高,因此它们的面积总相等.
6.解:(1)C
(2)我选甲方案.证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF.
∵O是对角线AC的中点,
∴AO=CO.
∵E,F分别是AO,CO的中点,
∴AE=AO,CF=CO,
∴AE=CF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD.
∵∠BEF=180°-∠AEB,∠DFE=180°-∠CFD,
∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.(答案不唯一)
(3)1002平行四边形的判定
第1课时 平行四边形判定定理1,2
两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形
1.(2024鞍山月考)如果四边形有一组对边相等,那么还需要添加一个条件,就能使它成为平行四边形.这个条件是 ( )
A.另一组对边相等 B.一组对角相等
C.另一组对边平行 D.以上都成立
2.如图,AB=CD=EF,且△ACE≌△BDF,则图中平行四边形的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 .
4.(2024锦州太和区月考)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.如图,在四边形ABCD中,E是AB边的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,且CB=BF,添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形,下面四个条件中可选择的是 ( )
A.AB=DC B.AD=BF
C.∠A=∠C D.∠F=∠ADF
6.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,当∠A与∠B满足 的关系时,四边形ABCD是平行四边形.
7.如图,在 ABCD中,点P,Q分别是AD,BC上一点,且∠CDQ=∠ABP.
求证:四边形BQDP是平行四边形.
1.(2024松花江期末)根据图中所给的边长及角度,下列四边形中,一定可以判定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图,在 ABCD中,∠BAD,∠BCD的平分线AF,CE分别交DC,BA的延长线于点F,E,又分别交BC,AD于点G,H,则图中共有 个平行四边形,它们是 .
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8 cm,BC=12 cm,M是BC上一点,且BM=9 cm,点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3 cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t s,则当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,t= .
4.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y的正半轴上,且OB=2OC,在直角坐标平面内确定点D,使得以点D,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为 .
5.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
求证:(1)BC=AF.
(2)四边形ADFE是平行四边形.
6.(推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,以AD,AE为腰作等腰三角形ADE(点E在点A的右上方),且∠ADE=∠ABC,连接CE,过点E作EM∥BC,交CA的延长线于点M,连接BM.
(1)求证:△BAD≌△CAE.
(2)若∠ABC=30°,求∠MEC的度数.
(3)求证:四边形MBDE是平行四边形.
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.C
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.证明:∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1=∠2,
∴∠ACB=∠CAD,
∴AD∥BC.
∵∠1=∠2,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.D 6.∠A+∠B=180°(或互补)
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,AB=CD.
在△ABP和△CDQ中,∠A=∠C,AB=CD,∠ABP=∠CDQ,
∴△ABP≌△CDQ(ASA),
∴AP=CQ,
∴AD-AP=BC-CQ,
即PD=BQ.
又∵PD∥BQ,
∴四边形BQDP是平行四边形.
课后提升
1.B 解析:A.∵89°+91°=180°,∴图中的一组对边平行,另一组对边相等,∴图中的四边形不一定是平行四边形;B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.C.∵89°+91°=180°,∴图中只有一组对边平行,∴图中的四边形不一定是平行四边形;D.∵90°+90°=180°,∴图中只有一组对边平行,∴图中的四边形不一定是平行四边形.故选B.
2.3 AFCE, AGCH, ABCD
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD.∵∠BAD,∠BCD的平分线AF,CE分别交DC,BA的延长线于点F,E,∴∠BAG=∠DAG=∠BCH=∠DCH.∵AD∥BC,∴∠DAG=
∠BGA,∴∠BAG=∠BGA,∴AB=BG,同理可得出CD=HD,∴HD=BG,∴AH=CG.又∵AH∥CG,∴四边形AGCH是平行四边形,∴AG∥CH.∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∴图中共有3个平行四边形,它们是: AFCE, AGCH, ABCD.
3.或 解析:①当点F在线段BM上,且AE=FM时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则有t=3t-(12-9),解得t=;②当点F在线段CM上,且AE=FM时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则有t=12-9-3t,解得t=.综上所述,t=或时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
4.(3,2)或(-3,2)或(5,-2) 解析:如图,①当BC为对角线时,易求D1(3,2);②当AC为对角线时,CD∥AB,且CD=AB,∴D2(-3,2);③当AB为对角线时,AC∥BD,且AC=BD.则|yD|=OC=2,|xD|=OB+OA=5,∴D3(5,-2).综上所述,符合条件的点D的坐标是D1(3,2),D2(-3,2),D3(5,-2).
5.证明:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴AB=2BC.
又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AB=2AF,
∴BC=AF.
(2)在Rt△AFE和Rt△BCA中,
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL).
∴EF=AC.
∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD.
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°,EF=AD.
又∵EF⊥AB,∴EF∥AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
6.解:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠BAC=180°-2∠ABC.
由题意知AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
∴∠DAE=180°-2∠ADE.
∵∠ADE=∠ABC,
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE=30°.
∴∠ECB=∠ACB+∠ACE=60°.
∵EM∥BC,
∴∠MEC+∠ECB=180°.
∴∠MEC=180°-60°=120°.
(3)证明:∵△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACB,
∴∠ACB=∠ACE.
∵EM∥BC,∴∠EMC=∠ACB,
∴∠ACE=∠EMC,
∴CE=EM,∴BD=EM.
又∵EM∥BD,
∴四边形MBDE是平行四边形.
