专题训练九 平行四边形中的思想方法
分类讨论思想
1.在 ABCD中,已知AB=6,BE平分∠ABC交AD边于点E,点E将AD分为1∶3两部分,则AD的长为 ( )
A.8或24 B.8
C.24 D.9或24
2. 在 ABCD中,AB=,AD=,点A到边BC,CD的距离分别为AE=,AF=1,则∠EAF的度数为 .
3.(2024临沂期末)在 ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,则 ABCD的周长等于 .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AB交直线AC于点E,作DF∥AC交直线AB于点F.
(1)当点D在边BC上时,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D不在线段BC上时,请画出符合题意的图形,并判断DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF= .
整体思想
5.(2024鞍山月考)如图,在 ABCD中,BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F,若BE=2,BF=3, ABCD的周长为20,则 ABCD的面积为 .
方程思想
6.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是 .
转化思想
7.如图, ABCD 的顶点C在等边三角形BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 .
8.(2024丹东期末)如图,在直线l上摆放着三个等边三角形:△ABC,△HFG,△DCE,已知BC=CE,F,G分别是BC,CE的中点,FM∥AC∥HG∥DE,GN∥DC∥HF∥AB.设图中三个四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=20,则S1= ,S2= .
【详解答案】
1.A 解析:如图,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠BEA=
∠CBE,∴∠ABE=∠BEA,∴AE=AB=6.∵点E将AD分为1∶3两部分,∴DE=18或DE=2,当DE=18时,AD=24;当DE=2时,AD=8.故选A.
2.45°或135° 解析:如图1所示,过点A分别作AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分别为E,F,
图1
∵AF⊥DC,AE⊥CB,∴∠DFA=90°,∠AEB=90°.∵AD=,AF=1,∴DF=1,∴∠DAF=∠D=45°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠DAB=135°,∵AB=,AE=,∴EB=,∴∠EAB=45°;∴∠EAF=135°-45°-45°=45°;如图2所示,过点A分别作AE⊥CB,交CB的延长线于点E,作AF⊥CD,交CD的延长线于点F,同理可得∠EAB=45°,∠FAD=45°,∠BAD=45°,则∠EAF=135°.
图2
3.20或12 解析:过点A作AE⊥BC,交BC于点E,如图1,在 ABCD中,AE=4,AB=5,AC=2,∴EC===2,BE===3,∴BC=EC+BE=2+3=5,∴ ABCD的周长=2(AB+BC)=20;如图2,过点A作AE⊥BC,交BC的延长线于点E,∵在 ABCD中,AE=4,AB=5,AC=2,∴EC===2,BE===3,∴BC=BE-EC=3-2=1,∴ ABCD的周长=2(AB+BC)=12.
图1 图2
4.解:(1)证明:∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠C=∠FDB,四边形AEDF是平行四边形,∴AF=DE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠FDB,
∴BF=DF.
∵AB=AF+BF,
∴AB=DE+DF,
∴DE+DF=AC.
(2)过点D作DE∥AB,DF∥AC,有两种可能:如图1,当点D在边BC的延长线上时,DF-DE=AC;如图2,当点D在边BC的反向延长线上时,DE-DF=AC.
图1
图2
(3)2或10
5.12 解析:∵ ABCD的周长为20,∴2(AD+CD)=20,∴AD+CD=10①,∵S ABCD=AD·BE=CD·BF,∴2AD=3CD②,联立①②解得AD=6,∴ ABCD的面积=AD·BE=6×2=12.
6.26° 解析:设∠BAC=x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AD=BC,AD∥BC,∴∠DCA=∠BAC=x.
∵AE=BE,∴∠EBA=∠BAC=x,∴∠BEC=2x.∵AD=AE=BE,∴BE=BC,∴∠BCE=∠BEC=2x,
∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x.∵AD∥BC,∠D=102°,∴∠D+∠DCB=180°,即102°+3x=180°,解得x=26°.
7. 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,CD=AB,DC∥AB.∵AD=3,AB=CF=2,∴CD=2,BC=3,
∴BF=BC+CF=5.∵△BEF是等边三角形,G为DE的中点,∴BF=BE=5,DG=EG.如图,延长CG交BE于点H.
∵DC∥AB,∴∠CDG=∠HEG.在△DCG和△EHG中,∴△DCG≌△EHG(ASA),
∴DC=EH,CG=HG.∵CD=2,BE=5,∴HE=2,BH=3.∵∠CBH=60°,BC=BH=3,∴△CBH是等边三角形,
∴CH=BC=3,∴CG=CH=.
8.2 6 解析:如图,设AC与FH交于点P,CD与HG交于点Q,由题意可得,△PFC,△QCG和△NGE均是等边三角形.∵F,G分别是BC,CE的中点,易得MF=AC=BC,PF=AB=BC,∴CP=PF=MF.又∵BC=CE=CG=GE,∴CG=BC=3PF,∴QG=GC=CQ=AB=3CP,∴S1=S2,S3=3S2.∵S1+S3=20,∴S2+3S2=20,∴S2=6,∴S1=2.专题训练十一 构造中位线解题
连接两点构造三角形的中位线
1.如图,在△ABC中,D为AB的中点,连接DC,过AC的中点E作EF∥CD,交BC的延长线于点F.
求证:BC=2CF.
2.如图,在四边形ABDC中,AB=AC,DB⊥AB,DC⊥AC,且E,F,G,H分别为AB,AC,CD,BD的中点.
(1)求证:EH=FG.
(2)连接AD,BC交于点O,则AD,BC有何位置关系 证明你的结论.
利用角平分线和垂直构造三角形中位线
3.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AD为△ABC的外角平分线,且AD⊥BD,若AB=12,AC=18,求DM的长.
4.(2024丹东月考)如图,已知AO是△ABC中∠BAC的平分线,BD⊥AO交AO的延长线于点D,E是BC的中点.
求证:DE=(AB-AC).
已知一边中点,取另一边中点构造三角形的中位线
5.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,BA=BD.
求证:AE=AC.
倍长法构造三角形的中位线
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M为AF的中点.
求证:ME=CF.
已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线
7.如图,已知:在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是DC,AB的中点,直线EF分别与BC,AD的延长线相交于点G,H.
求证:∠AHF=∠BGF.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,P是AD的中点,延长BP交AC于点N.
求证:AN=AC.
【详解答案】
1.证明:如图,连接DE,
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC.
又∵EF∥CD,
∴四边形CDEF为平行四边形,
∴CF=DE=BC,
∴BC=2CF.
2.解:(1)证明:∵E,H分别为AB,BD的中点,
∴EH是△BAD的中位线,
∴EH=AD.
同理,FG是△ACD的中位线,
∴FG=AD,
∴EH=FG.
(2)AD垂直平分BC.证明如下:
∵DB⊥AB,DC⊥AC,
∴∠ABD=∠ACD=90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中,AB=AC,AD=AD,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
∴∠BAD=∠CAD,
∴OA⊥BC,OB=OC,
∴AD垂直平分BC.
3.解:如图,延长BD,CA交于点N.
∵AD为△ABC的外角平分线,
∴∠NAD=∠BAD.
又∵AD⊥BD,
∴∠ADN=∠ADB=90°.
在△AND和△ABD中,
∴△AND≌△ABD(ASA),
∴DN=DB,AN=AB.
∵M为BC的中点,
∴DM是△BCN的中位线,
∴DM=NC=(AN+AC)=(AB+AC)=15.
4.证明:如图,延长AC,BD交于点F,
∵AO是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠FAD.
∵BD⊥AO,∴∠ADB=∠ADF=90°.
∵在△ABD和△AFD中,
∴△ABD≌△AFD(ASA),
∴AB=AF,BD=DF.
∵E是BC的中点,
∴ED是△BCF的中位线,
∴DE=CF=(AF-AC)=(AB-AC).
5.证明:如图,取BA的中点F,连接DF.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∴DF为△ABC的中位线,
∴DF=AC.
∵BA=BD,AE和DF是等腰三角形BAD两腰上的中线,
∴AE=DF,
∴AE=AC.
6.证明:如图,延长FE至点N,使EN=EF,连接BN,AN.易得ME=AN.
∵EF=EN,∠BEF=90°,
∴BF=BN,∴∠BNF=∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,
∴∠BFN=45°,∴∠BNF=45°,
∴∠FBN=90°,
即∠FBA+∠ABN=90°.
又∵∠FBA+∠CBF=90°,
∴∠CBF=∠ABN.
在△BCF和△BAN中,
∴△BCF≌△BAN(SAS),
∴CF=AN,
∴ME=AN=CF.
7.证明:如图,连接AC,作EM∥AD,交AC于点M,连接MF.
∵E是CD的中点,且EM∥AD,
∴EM=AD,M是AC的中点.
又∵F是AB的中点,
∴MF∥BC,且MF=BC.
∵AD=BC,∴EM=MF,
∴∠MEF=∠MFE.
∵EM∥AH,∴∠MEF=∠AHF.
∵FM∥BG,∴∠MFE=∠BGF,
∴∠AHF=∠BGF.
8.证明:如图,取NC的中点H,连接DH,过点H作HE∥AD,交BN的延长线于点E.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴D为BC的中点.
又∵H为NC的中点,
∴DH为△BNC的中位线,
∴DH∥BN.
∵HE∥AD,
∴四边形PDHE是平行四边形,
∴HE=PD.
∵P为AD的中点,
∴AP=PD,∴AP=HE.
易证△APN≌△HEN,
∴AN=NH.
又∵NH=HC,∴AN=NH=HC,
∴AN=AC.专题训练十 平行四边形中的折叠问题与动点问题
平行四边形中的折叠问题
1.如图,在 ABCD中,将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB'C,B'C交AD于点E,连接B'D,若∠B=60°,∠ACB=45°,AC=,则B'D的长是 ( )
A.1 B. C. D.
2.如图,在 ABCD中,∠C=70°,将 ABCD折叠,使点D,C分别落在点F, E处(点F,E都在AB所在的直线上),折痕为MN,则∠AMF= ( )
A.70° B.40°
C.30° D.20°
3.如图,在 ABCD中,∠ABC=60°,∠BAC=45°,AB=2,E为AC上一点,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落DC上的点F处,连接BF,则BF的长是 .
平行四边形中的动点问题
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=9 cm,BC=6 cm,点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒1 cm的速度从点C向点B运动(点P,Q同时出发,其中一个动点到达端点时,另一个动点也停止运动),几秒时,直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形 ( )
A.2 s B.2 s或3 s
C.2 s或4 s D.4 s
5.如图,等边三角形ABC的边长为6 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,点F从点B同时出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,运动时间为 ( )
A.1 s或2 s B.2 s或3 s
C.2 s或4 s D.2 s或6 s
6.如图1,平面直角坐标系中(单位长度是1 cm)的 AOBC中,∠AOB=60°,OA=8 cm,OB=10 cm,点P从点A出发沿AC方向,以1 cm/s速度向点C运动;点Q从点B同时出发沿BO方向,以3 cm/s的速度向原点O运动.其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求点A和点C的坐标.
(2)如图2,从运动开始,经过多少时间,四边形AOQP是平行四边形.
图1 图2
【详解答案】
1.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∠ADC=∠B=60°,∴∠CAE=∠ACB=45°.∵将△ABC沿AC翻折得到△AB'C,∴∠ACB'=∠ACB=45°,∠AB'C=∠B=60°,∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB'=90°,由勾股定理得AE=CE=.∵∠AEC=90°,∠AB'C=60°,∠ADC=60°,∴∠B'AD=30°,∠DCE=30°,易得B'E=DE=1,
∴B'D==.故选B.
2.B 解析:易得四边形MNCD是平行四边形,根据平行四边形对角相等的性质,可得∠DMN=∠C=70°.根据轴对称的性质,可得∠FMN=∠DMN=70°.∴∠AMF=180°-∠DMN-∠FMN=180°-70°-70°=40°.故选B.
3.3 解析:如图,连接AF,过点C作CM⊥AB于点M,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC.∵△ADE沿着DE翻折,点A恰好落在CD上的点F处,∴AD=FD.又∵∠ADC=∠ABC=60°,∴△ADF是等边三角形.∵∠BCM=90°-∠ABC=30°,∴设BM=x,则BC=2x,CM=x.∵∠CAB=45°,∴△ACM是等腰直角三角形,
∴AM=CM=x,∴x+x=AB=2,∴x==-1,则CM=3-,∴AC=CM=3.∵∠AFD=60°,
∴∠AFC=120°.∵∠BCD=180°-∠ABC=120°,∴∠AFC=∠BCF=120°.∵BC=AD,AD=AF,∴AF=BC.在△AFC和△BCF中,∴△AFC≌△BCF(SAS),∴BF=AC=3.
4.B 解析:设点P,Q运动的时间为t s,依题意得CQ=t,BQ=6-t,AP=2t,PD=9-2t,①当BQ=AP时,四边形APQB是平行四边形,即6-t=2t,解得t=2;②当CQ=PD时,四边形CQPD是平行四边形,即t=9-2t,解得t=3,∴经过2 s或
3 s时,直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形.故选B.
5.D 解析:①当点F在点C的左侧时,根据题意得:AE=t cm,BF=2t cm,则CF=BC-BF=(6-2t)cm,∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即t=6-2t,解得t=2;②当点F在点C的右侧时,根据题意得:AE=t cm,BF=
2t cm,则CF=BF-BC=(2t-6)cm,∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t=2t-6,解得t=6.综上可得,当运动时间为2 s或6 s时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.故选D.
6.解:(1)如图,过点A作AD垂直OB于点D,垂足为D,
在Rt△AOD中,∵∠AOB=60°, OA=8 cm,
∴∠OAD=30°,
∴OD=OA=4 cm,
由勾股定理,得AD=4 cm,
∴A(4,4).
∵OB=AC=10 cm,
∴C(14,4).
(2)设经过t s,四边形AOQP是平行四边形,
则有AP=OQ,
即t=10-3t,解得t=2.5,
故经过2.5 s,四边形AOQP是平行四边形.
