第三章　 专题训练四　巧用平移和旋转解决图形变换问题 课时作业（含答案） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

专题训练四　巧用平移和旋转解决图形变换问题
平移
技巧1:利用平移求面积
1.如图,将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移,使点A移至线段AC的中点A'处,得到新正方形A'B'C'D',新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是 (　　)
A. B. C.1 D.
2.(2024辽阳期末)如图,将长5 cm,宽3 cm的长方形ABCD先向右平移2 cm,再向下平移1 cm,得到长方形A'B'C'D',则阴影部分的面积为　　　　 cm2.
3.(2024长春期中)如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0),B(1,4),BC∥y轴与x轴交于点C,BD∥x轴与y轴交于点D,平移四边形ACBD,使点D的对应点为DO的中点E,求图中阴影部分的面积.
技巧2:利用平移求线段长或图形周长
4.如图,将△ABC沿BC方向平移2 cm得到对应的△A'B'C'.若B'C=4 cm,则BC'的长是 (　　)
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm
5.如图,长方形ABCD的对角线AC=10,边BC=8,则图中五个小长方形的周长之和为　　　　.
技巧3:利用平移比较线段长短
6.王老师在黑板上写了一道题:如图1,线段AB=CD,AB与CD相交于点O,且∠AOC=60°,试比较AC+BD与AB的大小.小聪思考片刻就想出来了,如图2,他说将AB平移到CE的位置,连接BE,DE,就可以比较AC+BD与AB的大小了,你知道他是怎样比较的吗
图1 图2
旋转
技巧1:利用旋转求角度
7.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE.若∠CAE=65°,∠E=70°,且AD⊥BC,则∠BAC的度数为 (　　)
A.60° B.85° C.75° D.90°
8.如图,在△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<55°)得到△ADE,DE交AC于点F.当α= 40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于 (　　)
A.80° B.85° C.90° D.95°
技巧2:利用旋转求(证明)线段(周长)
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,BC=6,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,A'B'与AC相交于点P,则线段CP长度的最小值为 (　　)
A.6 B.5.2 C.4.8 D.4
10.如图,等边三角形ABC的边长是2,E是△ABC对称轴CD上一个动点,连接EB,将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF,连接EF,则在点E运动过程中,△BEF周长的最小值是 (　　)
A.3 B.3.5 C.3 D.
11.两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置,直角顶点重合在点O处,AB=25.保持纸片AOB不动,将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°<α<90°),如图2所示.
(1)利用图2证明AC=BD,且AC⊥BD.
(2)当BD与CD在同一条直线上(如图3)时,若AC=7,求CD的长.
图1 图2 图3
技巧3:利用旋转求面积
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后得到△EDC,此时,点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小,图中阴影部分的面积分别为(　　)
A.30,4 B.60,4 C.60,2 D.60,4
13.如图,将∠ABC=30° 的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150° 后得到△EBD,连接CD.若AB=4,则△BCD的面积为 (　　)
A.4 B.2 C.3 D.1
【详解答案】
1.B　解析:∵正方形ABCD的边长为,∴AC=2,又∵点A'是线段AC的中点,∴A'C=1,易得S阴影=.故选B.
2.18　解析:由题意得,空白部分是长方形,长为5-2=3(cm),宽为3-1=2(cm),∴阴影部分的面积=5×3×2-3×2×2=18(cm2).
3.解:由题意得,E(0,2),J(-1.5,0),C(1,0),T(-3,-2),Q(1,-2).
∵四边形EPQT由四边形DBCA平移得到,
∴S四边形DBCA=S四边形EPQT,
∴S阴影=S四边形JCQT=×(2.5+4)×2=6.5,
∴图中阴影部分的面积为6.5.
4.C　解析:∵△ABC沿BC方向平移2 cm得到△A'B'C',∴BB'=CC'=2 cm.
∵B'C=4 cm,∴BC'=BB'+B'C+CC'=2+4+2=8(cm).故选C.
5.28　解析:由勾股定理,得AB==6,将五个小长方形的所有上边平移至AD,所有下边平移至BC,所有左边平移至AB,所有右边平移至CD,∴五个小长方形的周长之和=2(AB+BC)=2×(6+8)=28.
6.解:由平移的性质知,AB与CE平行且相等,BE=AC,
当B,D,E三点不在同一条直线上时,
∵AB∥CE,
∴∠DCE=∠AOC=60°.
∵AB=CE,AB=CD,
∴CD=CE,
∴△CED是等边三角形,
∴DE=CD=AB,
根据三角形的三边关系知,
AC+BD=BE+BD>DE=AB,
即AC+BD>AB;
当B,D,E三点在同一条直线上时,
AC+BD=AB,
∴AC+BD≥AB.
7.B　解析:如图,设AD与BC交于点F,∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,∴∠C=∠E=70°,∠BAC=∠DAE.∵AD⊥BC,∴∠AFC=90°,∴∠CAF=90°-∠C=90°-70°=20°,∴∠DAE=∠CAF+∠CAE=20°+65°=85°,∴∠BAC=∠DAE=85°.故选B.
8.B　解析:由旋转的性质可知,AB=AD,∠BAD=40°,∴∠B=∠ADB=×(180°-40°)=70°,∴∠ADE=∠B=70°.
∵∠BAC=55°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,∴∠AFE=∠ADE+∠CAD=85°.故选B.
9.C　解析:当CP与A'B'垂直时,CP有最小值,如图,由旋转的性质知B'C=BC=6,A'C=AC=8,A'B'=AB=10,
∵S△A'B'C=×B'C×A'C=×A'B'×CP,∴CP==4.8.故选C.
10.C　解析:∵将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF,∴BF=BE,∠EBF=60°,∴△BEF是等边三角形,∴△BEF的周长=3BE,∴当BE取最小值时,△BEF的周长有最小值.∵等边三角形ABC的边长是2,CD为对称轴,
∴AD=BD=,CD⊥AB.∵E是△ABC对称轴CD上一个动点,∴当BE⊥CD时,BE有最小值,为,∴△BEF周长的最小值为3.故选C.
11.解:(1)证明:如图,延长BD交OA于点G,交AC于点E.
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形,
∴OA=OB,OC=OD.
由旋转的性质知∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD,∠CAO=∠DBO.
又∵∠DBO+∠OGB=90°,
∠OGB=∠AGE,
∴∠CAO+∠AGE=90°,
∴∠AEG=90°,
∴AC⊥BD.
(2)由(1)可知AC=BD,AC⊥BD.
∵BD,CD在同一条直线上,
∴△ABC是直角三角形.
由勾股定理,得BC===24,
∴CD=BC-BD=24-7=17.
12.C　解析:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后得到△EDC,此时,点D在AB边上,∴CD=CB=4,∠CDE=∠B=60°,∴△CBD为等边三角形,∴∠BCD=60°,即n=60,∴∠DCF=90°-60°=30°,
∴∠DFC=90°,∴△CDF是直角三角形.在Rt△CDF中,DF=CD=×4=2,∴CF==2,∴题图中阴影部分的面积=×2×2=2.故选C.
13.C　解析:如图,过点D作DF⊥BE,垂足为F.∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=4,∴AC=AB=2,BC==2.由旋转得BC=BD=2,∠ABE=150°,∠DBE=∠ABC=30°,∴∠ABE+∠ABC=180°,∴C,B,E三点在同一条直线上.在Rt△DBF中,∠DBF=30°,∴DF=BD=,∴△BCD的面积=BC·DF=×2=3.故选C.