第四章　因式分解 评估测试卷（含详解） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

第四章　因式分解 评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列从左到右的变形,属于因式分解的是 (　　)
A.(x+3)(x-2)=x2+x-6 B.ax-ay-1=a(x-y)-1
C.8a2b3=2a2·4b3 D.x2-4=(x+2)(x-2)
2.多项式49a3bc3+14a2b2c2在分解因式时应提取的公因式是 (　　)
A.7a3bc3 B.7a2b2c2
C.7ab2c2 D.7a2bc2
3.下列各式中可用平方差公式分解因式的是 (　　)
A.-a2b2+16 B.-a2b2-16
C.a2b2+16 D.(ab+16)2
4.若64x2+axy+y2是一个完全平方式,那么a的值应该是 (　　)
A.8或-8 B.16
C.-8 D.16或-16
5.多项式2x3-4x2+2x因式分解为 (　　)
A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2
C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2
6.在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个长方形(如图),通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是 (　　)
A.a2-ab=a(a-b) B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
7.把多项式x2-ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a+b的值是 (　　)
A.-1 B.1
C.-5 D.5
8.若代数式y2+y-2的值为0,则代数式y3+4y2+y+2 024的值为 (　　)
A.2 024 B.2 025 C.2 030 D.2 035
9.对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9一定能 (　　)
A.被8整除 B.被m整除
C.被m-91整除 D.被2m-1整除
10.在日常生活中,经常会用到密码,有一种利用“因式分解”法生成的密码,方便记忆.如将x2-9因式分解的结果为(x-3)(x+3),取个人年龄作为x的值,当x=13时,x-3=10,x+3=16,由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将x3-x因式分解后,取自己的年龄15设置了一个密码,他设置的密码可能是 (　　)
A.151416 B.151515 C.141514 D.131415
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.将10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解时,应提取的公因式是　　　　.
12.分解因式:a2(x-y)+4b2(y-x)=　　　　　　.
13.已知x+y=6,xy=-3,则x3y+xy3=　　　　.
14.若(-7x+A)(4y+B)=16y2-49x2,则A=　　　　,B=　　　　.
15.对正整数n,规定n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1,记S=1!×2!×…×24!,若正整数k(k≤100)使得S×k!为完全平方数(注:若一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数),则k的值为　　　　.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)把下列各式因式分解:
(1)a5b3c2+5a4b2c-7a3bc.
(2)(a-b)2+4ab.
(3)x2+12x-13.
(4)a2-2ab+b2-2a+2b-3.
17.(8分)甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9).请你分析一下a,b的值,并写出正确的因式分解过程.
18.(8分)在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n2-6n的值都是负数.于是小明猜想:当n为任意正整数时,n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗 请简要说明你的理由.
19.(8分)有若干个长方形和正方形的卡片,如图,请你运用拼图的方法,选取相应种类和数量的卡片,拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+3ab+2b2,并根据你拼成的图形分解因式:a2+3ab+2b2.
20.(12分)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2. (第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用的因式分解的方法是什么
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
21.(8分)阅读理解:
对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接用公式法了,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2,使其成为完全平方式,再减去a2这项,使整个式子的值不变,于是有x2+2ax-3a2=x2+2ax-3a2+a2-a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
(1)请用上述方法把x2-4x+3分解因式.
(2)多项式x2+2x+2有最小值吗 如果有,那么当它取最小值时,x的值是多少
22.(11分)(2024安徽中考)数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下(n为正整数):
N 奇数 4的倍数
表示结果 1=12-02 3=22-12 5=32-22 7=42-32 9=52-42 … 4=22-02 8=32-12 12=42-22 16=52-32 20=62-42 …
一般结论 2n-1=n2-(n-1)2 4n=　　　　　
按上表规律,完成下列问题:
(ⅰ)24=(　　　　)2-(　　　　)2.
(ⅱ)4n=　　　　　　.
(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:
假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数.
分下列三种情形分析:
①若x,y均为偶数,设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数,
则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)为4的倍数.
而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为偶数.
②若x,y均为奇数,设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数,
则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=　　　　　　为4的倍数.
而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x,y不可能均为奇数.
③若x,y一个是奇数一个是偶数,则x2-y2为奇数.
而4n-2是偶数,矛盾.故x,y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知,猜测正确.
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.
23.(12分)(2024福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)求证:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
【详解答案】
1.D　解析:A.是多项式乘法,不是因式分解,错误;B.右边不是积的形式,错误;C.不是把多项式化成整式的积,错误;D.运用平方差公式进行因式分解,x2-4=(x+2)(x-2),正确.故选D.
2.D　解析:多项式49a3bc3+14a2b2c2在分解因式时应提取的公因式是7a2bc2.故选D.
3.A　解析:A.-a2b2+16符合平方差公式的特点,能用平方差公式进行因式分解,故本选项符合题意;B.-a2b2-16的两平方项的符号相同,不能用平方差公式进行因式分解,故本选项不符合题意;C.a2b2+16的两平方项的符号相同,不能用平方差公式进行因式分解,故本选项不符合题意;D.(ab+16)2不符合平方差公式的特点,不能用平方差公式进行因式分解,故本选项不符合题意.故选A.
4.D　解析:∵64x2+axy+y2是一个完全平方式,∴64x2+axy+y2=(8x)2±16xy+y2=(8x±y)2,则a=±16.故选D.
5.A　解析:原式=2x(x2-2x+1)=2x(x-1)2.故选A.
6.B　解析:由题图可知,阴影部分的面积为大正方形的面积减小正方形的面积,为a2-b2;拼成的长方形的面积为(a+b)(a-b),所以得出a2-b2=(a+b)(a-b).故选B.
7.A　解析:∵把多项式x2-ax+b分解因式得(x+1)(x-3),∴-a=1+(-3),b=1×(-3),∴a=2,b=-3,∴a+b=2+(-3)=-1.故选A.
8.C　解析:由题意,得y2+y-2=0,则y2+y=2,∴y3+4y2+y+2 024=y(y2+y+3y)+y+2 024=y(2+3y)+y+2 024=y(2+3y+1)+2 024=3(y+y2)+2 024=3×2+2 024=2 030.故选C.
9.A　解析:原式=(4m+5)2-32=(4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1).故可知(4m+5)2-9中含有因式8,m+2,2m+1,说明该多项式可被8,m+2,2m+1整除.故选A.
10.A　解析:x3-x=x(x2-1)=x(x-1)·(x+1),当x=15时,x-1=14,x+1=16,故密码可能是151416.故选A.
11.5a(x+y)2　解析:10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解时,应提取的公因式是5a(x+y)2.
12.(x-y)(a+2b)(a-2b)　解析:a2(x-y)+4b2(y-x)=a2(x-y)-4b2(x-y)=(x-y)(a2-4b2)=(x-y)(a+2b)(a-2b).
13.-126　解析:∵x+y=6,xy=-3,∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x2+y2+2xy)-2xy]=xy[(x+y)2-2xy]=-3×(36+6)=-126.
14.4y　7x　解析:∵16y2-49x2=(4y+7x)·(4y-7x),(-7x+A)(4y+B)=16y2-49x2,∴A=4y,B=7x.
15.12　解析:∵n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1,∴n!×(n-1)!=n×(n-1)!×(n-1)!=n[(n-1)!]2,
∴S=1!×2!×…×24!=2×(1!)2×4×(3!)2×…×24×(23!)2,∴S=2×4×6×…×22×24×(1!×3!×…×23!)2.
∵2×4×6×…×22×24=(2×1)×(2×2)×(2×3)×…×(2×12)=212×(1×2×3×…×11×12)=212×12!,
∴S=(1!×3!×…×23!)2×212×12!,∵(1!×3!×…×23!)2,212都为完全平方数,且S×k!为完全平方数,∴k的值是12.
16.解:(1)a5b3c2+5a4b2c-7a3bc=a3bc·(a2b2c+5ab-7).
(2)(a-b)2+4ab
=a2-2ab+b2+4ab
=a2+2ab+b2
=(a+b)2.
(3)x2+12x-13
=x2-1+12x-12
=(x+1)(x-1)+12(x-1)
=(x+13)(x-1).
(4)a2-2ab+b2-2a+2b-3
=(a2-2ab+b2)-(2a-2b)-3
=(a-b)2-2(a-b)-3
=(a-b)2-2(a-b)+1-4
=(a-b-1)2-4
=(a-b-3)(a-b+1).
17.解:∵甲看错了b,∴a正确.
∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8,
∴a=6.
∵乙看错了a,∴b正确.
∵(x+1)(x+9)=x2+10x+9,
∴b=9,
∴x2+6x+9=(x+3)2.
18.解:小明的猜想不正确.理由如下:
n2-6n=n(n-6),当n≥6时,n2-6n≥0.
19.解:如图(图不唯一),长方形ABCD的面积为a2+3ab+2b2,a2+3ab+2b2=(a+b)·(a+2b).
20.解:(1)y2+8y+16=(y+4)2,运用的是完全平方公式.
(2)该同学因式分解的结果不彻底.
因式分解的最后结果是(x-2)4.
(3)设x2-2x=y,
∴(x2-2x)(x2-2x+2)+1
=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2-2x+1)2
=(x-1)4.
21.解:(1)x2-4x+3
=x2-4x+3+4-4
=(x-2)2-1
=(x-2+1)(x-2-1)
=(x-1)(x-3).
(2)有最小值,
x2+2x+2=x2+2x+1+1=(x+1)2+1,
∵(x+1)2≥0,
∴(x+1)2+1≥1.
∴当x2+2x+2取最小值时,x的值是-1.
22.解:(1)(ⅰ)7　5
(ⅱ)(n+1)2-(n-1)2
(2)4(k2-m2+k-m)
23.解:(1)证明:∵3m+n=,mn=,
∴b=a(3m+n),c=amn,
∴b2-12ac
=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mm+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2.
∵a,m,n都是实数,
∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac为非负数.
(2)m,n不可能都为整数.理由如下:
若m,n都为整数,其可能情况有:
①当m,n都为奇数时,则3m+n必为偶数,
又∵3m+n=,
∴b=a(3m+n).
∵a为奇数,
∴a(3m+m)必为偶数,这与b为奇数矛盾;
②当m,n中至少有一个为偶数时,则mn必为偶数,
又∵mn=,
∴c=amn.
∵a为奇数,
∴amn必为偶数,这与c为奇数矛盾.
综上所述,m,n不可能都为整数.