第四章 专题训练五 因式分解的六种常见应用 课时作业（含详解） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

专题训练五　因式分解的六种常见应用
应用1:简便计算
1.利用因式分解计算:
(1)1242×25-25×762.
(2)2×2022 +4×202×98+2×982.
2.(2024长春期末)如图所示,小刚家门口的商店在装修,他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上切去半径为r的四个小圆,小刚测得R=7 dm,r=1.5 dm,他想知道剩余阴影部分的面积,你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗 请写出求解的过程(结果保留π).
应用2:化简求值
3.利用因式分解计算:
(1)已知a+b=,ab=2,求a3b+a2b2+ab3的值.
(2)已知x+y=3,x-y=-2,求(x2+y2)2-4x2y2的值.
4.先因式分解,再求值:
(1)4x(m-2)-3x(m-2)2,其中x=1.5,m=6.
(2)4a2(b+3)+8ab(b+3)+4b2(b+3),其中a=2,b=-2.
应用3:判断证明
5.(2024抚顺月考)求证:当n为正整数时,(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除.
6.求证:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是完全平方式.
应用4:判断三角形的形状
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2-4bc-ab+4ac=0,试判断△ABC的形状.
8.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试判断△ABC的形状.
应用5:比较大小
9.(1)比较2x与x2+1的大小:
①当x=2时,2x　　　　x2+1,
②当x=1时,2x　　　　x2+1,
③当x=-1时,2x　　　　x2+1.
(2)通过上面的填空,猜想2x与x2+1的大小关系为　　　　　　　　.
(3)无论x取什么值,2x与x2+1总有(2)中的大小关系吗 试说明理由.
应用6:解方程
10.解方程:2x+3-2x+1=48.
11.解方程:
(1)5x2-15x=0.
(2)5x(x-2)-4(2-x)=0.
12.已知x,y都是自然数,且有x(x-y)-y(y-x)=12,求x,y的值.
【详解答案】
1.解:(1)原式=25×(1242-762)=25×(124+76)×(124-76)=25×200×48=240 000.
(2)原式=2×(2022+2×202×98+982)=2×(202+98)2=2×3002=2×90 000=180 000.
2.解:∵R=7 dm,r=1.5 dm,
∴阴影部分的面积为
πR2-4πr2=π(R+2r)(R-2r)=
π×(7+2×1.5)×(7-2×1.5)=
10×4π=40π(dm2),
故剩余阴影部分的面积为40π dm2.
3.解:(1)∵a+b=,ab=2,
∴原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=×2×=.
(2)原式=(x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2)=(x+y)2(x-y)2.
∵x+y=3,x-y=-2,
∴原式=32×(-2)2=9×4=36.
4.解:(1)4x(m-2)-3x(m-2)2=x(m-2)·(10-3m),
当x=1.5,m=6时,原式=1.5×(6-2)×(10-3×6)=-48.
(2)4a2(b+3)+8ab(b+3)+4b2(b+3)=4(b+3)(a+b)2,
当a=2,b=-2时,原式=0.
5.证明:∵(2n+1)2-(2n-1)2
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]
=4n×2
=8n,
∴当n为正整数时,(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除.
6.证明:∵原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25=(x2+5x+5)2,
∴(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是完全平方式.
7.解:a2-4bc-ab+4ac=(a2-ab)+(4ac-4bc)=a(a-b)+4c(a-b)=(a-b)(a+4c)=0.
∵a>0,b>0,c>0,
∴a+4c>0,
∴a-b=0,即a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
8.解:a2+b2+c2-ab-bc-ac
=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)
=[(a2+b2-2ab)+(a2+c2-2ac)+(b2+c2-2bc)]
=[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]
=0.
∵(a-b)2≥0,(a-c)2≥0,(b-c)2≥0,
∴(a-b)2=0,(a-c)2=0,(b-c)2=0,
∴a=b=c,
即△ABC为等边三角形.
9.解:(1)①<　②=　③<
(2)2x≤x2+1
(3)无论x取什么值,总有2x≤x2+1.
理由:∵x2+1-2x=(x-1)2≥0,
∴2x≤x2+1.
10.解:∵2x+3-2x+1=48,
∴2x+1(22-1)=48,
∴2x+1=16,
∴x+1=4,
解得x=3.
11.解:(1)5x2-15x=0
5x(x-3)=0,
则5x=0或x-3=0,
解得x1=0,x2=3.
(2)5x(x-2)-4(2-x)=0,
(x-2)(5x+4)=0,
则x-2=0或5x+4=0,
解得x1=2,x2=-.
12.解:x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y),
∵x,y都是自然数,
又∵12=1×12=2×6=3×4,
经验证,(4-2)×(4+2)=2×6符合条件,
∴x=4,y=2.