第五章　分式与分式方程 评估测试卷（含详解） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

第五章　分式与分式方程 评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.代数式-x,,x+y,,,,中是分式的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若分式有意义,则x的取值范围是 (　　)
A.x≠5 B.x≠-5 C.x>5 D.x>-5
3.若分式的值为0,则x的值为 (　　)
A.0 B.3 C.-3 D.3或-3
4.下列分式中变形正确的是 (　　)
A.=- B.
C. D.
5.化简÷的结果是 (　　)
A.- B.- C. D.
6.已知,则的值是 (　　)
A. B.- C.2 D.-2
7.(2024济宁中考)解分式方程1-=-时,去分母变形正确的是 (　　)
A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
8.若关于x分式方程有增根,则m的值为 (　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.4
9.(2024宁夏中考)数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10 min,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程 (　　)
A.=10 B.=10
C. D.
10.对于非零的两个实数a,b,规定a★b=,若3★(3x-1)=1,则x的值为 (　　)
A. B. C.- D.-
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2024常州中考)计算:=　　　　.
12.分式,的最简公分母为　　　　.
13.计算:=　　　　.
14.如果分式与的和为2,那么x的值是　　　　.
15.已知2a=3b,则=　　　　.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)(2024长春中考)先化简,再求值:,其中x=.
17.(8分)(2024广州中考)解方程:.
18.(8分)已知分式(a,b为常数)满足下列表格中的信息:
x的取值 2 0.5 c
分式的值 无意义 0 3
(1)则b的值是　　　　.
(2)求c的值.
19.(8分)设A=,B=.
(1)求A与B的差.
(2)若A与B的值相等,求x的值.
20.(8分)甲、乙两名学生到离校2.1 km的“荣光社区”参加志愿者活动,甲同学步行,乙同学骑自行车,乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的3倍,甲出发14 min后乙同学出发,两名同学同时到达,求甲同学步行的速度.
21.(11分)为了美化环境,某学校在教学楼前铺设广场地面,其图案如图所示,正方形广场地面的边长是40 m,中心建一个直径为正方形广场边长一半的圆形花坛,四个角各留一个小正方形花坛,其边长均为正方形广场边长的四分之一,在其中种植高大的树木.图中阴影部分铺设广场砖.
(1)计算阴影部分的面积(π取3).
(2)某施工队承包铺设广场砖的任务,计划在一定时间内完成任务,按原计划工作一天后,改进了铺设技术,工作效率提高了60%,结果提前3天完成任务,原计划每天铺设多少平方米
22.(12分)观察下面一类分式方程的解的规律:
∵x+=3+,
∴x1=3,x2=.
∵x+=4+,
∴x1=4,x2=.
(1)若x+=a+(a≠0),猜想x1=　　　　,x2=　　　　.
(2)试用求出关于x的方程x+=a+(a≠0)的解的方法,证明你的猜想.
(3)利用你猜想的结论,解关于x的方程x+=a+(a≠0,且a≠1).
23.(12分)为了迎接十一小长假的购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋,其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
种类 甲 乙
进价/(元/双) m m-20
售价/(元/双) 160 120
已知:用3 000元购进甲种运动鞋的数量与用2 400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1)求m的值.
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于10 800元,且不超过11 100元,问该专卖店共有几种进货方案
(3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(10【详解答案】
1.C　解析:,,是分式.故选C.
2.A　解析:由题意得x-5≠0,∴x≠5.故选A.
3.C　解析:由题意可得,x2-9=0且x-3≠0,解得x=-3.故选C.
4.D　解析:A.=-,故A错误;B.,故B错误;C.,故C错误;D.,故D正确.故选D.
5.D　解析:=÷.故选D.
6.D　解析:∵,∴,∴,∴=-2.故选D.
7.A　解析:方程两边同乘(2-6x),得2-6x+2=-5.故选A.
8.B　解析:,x-2=-m,解得x=2-m,∵分式方程有增根,∴x-4=0,∴x=4,把x=4代入x=2-m中,得4=2-m,解得m=-2.故选B.
9.C　解析:由题意可得.故选C.
10.A　解析:已知等式利用新定义得=1,去分母得3-3x+1=9x-3,解得x=,检验:当x=时,3(3x-1)≠0,∴分式方程的解为x=.故选A.
11.1　解析:原式==1.
12.6(a-b)(a+b)2　解析:∵的分母为3(a+b)2,的分母为2a2-2b2=2(a-b)(a+b),∴两个分式的最简公分母为6(a-b)(a+b)2.
13.　解析:原式=.
14.4　解析:由题意得=2,解得x=4,检验:当x=4时,x-3≠0,所以x=4是原分式方程的根.
15.　解析:,∵2a=3b,∴a=b,把a=b代入,得.
16.解:原式=
=
=x2.
当x=时,
原式=()2=2.
17.解:两边都乘x(2x-5),得x=3(2x-5),
解得x=3,
检验:当x=3时,x(2x-5)≠0,
故原分式方程的解为x=3.
18.解:(1)2
(2)当x=0.5时,分式的值为0,
∴=0,
解得a=-1,
∴分式为,
当分式的值为3时,即=3,
解得x=5,
经检验,x=5为原分式方程的解,
∴c=5.
19.解:(1)A-B=.
(2)根据题意得,
去分母得x(x+1)=2x,
整理得x(x-1)=0,
解得x=0或x=1,
经检验,x=0是原分式方程的解,x=1是原分式方程的增根.
20.解:设甲同学步行的速度为x km/h,则乙同学骑自行车的速度为3x km/h,
由题意得,解得x=6,
检验:当x=6时,3x≠0,
∴x=6是原方程的解,且符合题意.
答:甲同学步行的速度为6 km/h.
21.解:(1)由题意可得,小正方形边长为×40=10(m),圆的半径为×40=10(m),
故阴影部分的面积为
40×40-4×102-3×102=900(m2).
答:阴影部分的面积为900 m2.
(2)设原计划每天铺设x m2,根据题意可得=3+1+,
解得x=100,
经检验,x=100是原分式方程的根,且符合题意.
答:原计划每天铺设100 m2.
22.解:(1)a　
(2)两边都乘ax得ax2+2a=a2x+2x,
整理得ax2-(a2+2)x+2a=0,
分解因式得(x-a)(ax-2)=0,
所以x-a=0或ax-2=0,
解得x1=a,x2=,
经检验,都为原分式方程的解,
所以分式方程x+=a+(a≠0)的解为x1=a,x2=.
(3)方程变形得(x-1)+=(a-1)+(a≠1),
可得x-1=a-1或x-1=,
解得x1=a,x2=.
23.解:(1)依题意得,
解得m=100,
经检验,m=100是原分式方程的解,
所以m的值为100.
(2)由(1)得,甲运动鞋的进价为100元/双,乙运动鞋的进价为80元/双,甲运动鞋的利润为160-100=60(元/双),乙运动鞋的利润为120-80=40(元/双),
设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种运动鞋(200-x)双,根据题意得
解不等式①,得x≥140,
解不等式②,得x≤155,
所以不等式组的解集是140≤x≤155,
因为x是正整数,155-140+1=16,
所以共有16种进货方案.
(3)设总利润为W元,则W=(60-a)x+40(200-x)=(20-a)x+8 000,
①当a=20时,20-a=0,W=8 000.所有方案获利都一样;
②当100,W随x的增大而增大,
所以,当x=155时,W最大值=11 100-155a,即进货方案为购进甲种运动鞋155双,乙种运动鞋45双;
③当20所以,当x=140时,W最大值=10 800-140a,即进货方案为购进甲种运动鞋140双,乙种运动鞋60双.