第一章　三角形的证明 评估测试卷（含详解） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

第一章　三角形的证明 评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知△ABC的三边长分别是6 cm、8 cm、10 cm,则△ABC的面积是 (　　)
A.24 cm2 B.30 cm2
C.40 cm2 D.48 cm2
2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠BAC的度数为 (　　)
A.75° B.70° C.65° D.35°
3.如图,在△ABC和△DEF中,已知AC=DF,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加的条件可以是 (　　)
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D
4.(2024自贡中考)如图,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢 (　　)
A.(24-12) m B.(24-8) m C.(24-6) m D.(24-4) m
5.(2024云南中考)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 (　　)
A. B.2 C.3 D.
6.(2024凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC= (　　)
A.25 cm B.45 cm
C.50 cm D.55 cm
7.如图,P为△ABC外部一点,D,E分别在AB,AC的延长线上,若点P到BC,BD,CE的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是 (　　)
A.在∠DBC的平分线上
B.在∠BCE的平分线上
C.在∠BAC的平分线上
D.在∠DBC,∠BCE,∠BAC的平分线上
8.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,连接CO,BO.则图中全等三角形有 (　　)
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
9.如图,P为∠AOB内一定点,M,N分别是射线OA,OB上一点,当△PMN周长最小时,∠OPM=50°,则∠AOB= (　　)
A.40° B.45° C.50° D.55°
10.如图,△ABC≌△AEF,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.“等边对等角”的逆命题是　　　　.
12.一个等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角的度数是　　　　.
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为6,则其底边上的高是　　　　.
14.如图,在3×3的正方形网格中,点A,B在格点上,要找一个格点C,使△ABC是等腰三角形,则图中符合条件的格点有　　　　个.
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O为△ABC三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足,且BC=8 cm,CA=6 cm,则点O到边AB的距离为　　　　.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)已知:如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.
求证:OB=OC.
17.(8分)如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD⊥BC,AD=AB,连接BD并延长,交AC的延长线于点E,求∠E的度数.
18.(8分)某地附近有河流l1,公路l2和铁路l3,分布如图所示,现要选一个工厂,使其到l1,l2,l3的距离相等,请你运用数学知识帮助选择一个厂址.
19.(8分)已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,DH垂直平分BC交AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F.
(1)求证:BF=AC.
(2)求证:CE=BF.
20.(12分)(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上且CE=CA,试求∠DAE的度数.
(2)如果把第(1)题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗 说明理由.
(3)如果把第(1)题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC>90°”,其余条件不变,那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系
21.(8分)如图,在△ABC中,AB=30 cm,BC=35 cm,∠B=60°,有一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动,动点F自点B向点C以4 cm/s的速度运动,若点E,F同时分别从点A,B出发.
(1)试问出发几秒后,△BEF为等边三角形
(2)填空:出发　　　　s后,△BEF为直角三角形
22.(11分)如图1,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系 请证明你的结论.
(2)将图1中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图2,(1)中的结论还成立吗 作出判断并说明理由.
图1 图2
23.(12分)如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转.
图1 图2 图3
(1)在图1中,DE交AB于点M,DF交BC于点N.①证明DM=DN;②在这一过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化 若发生变化,请说明是如何变化的;若不发生变化,求出其面积.
(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于点M,延长BC交DF于点N,DM=DN是否仍然成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于点N,延长ED交AB于点M,DM=DN是否仍然成立 直接写出结论,不用证明.
【详解答案】
1.A　解析:∵62+82=102,∴△ABC是直角三角形,∴△ABC的面积为×6×8=24(cm2).故选A.
2.A　解析:∵AB=AD,∠B=70°,∴∠ADB=70°.∵AD=DC,∴∠C=∠DAC=35°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-35°=75°.故选A.
3.B　解析:A.添加∠A=∠D,满足SSA,不能判定△ABC≌△DEF;B.添加∠ACB=∠F,满足SAS,能判定△ABC≌△DEF;C.添加∠B=∠DEF,满足SSA,不能判定△ABC≌△DEF;D.添加∠ACB=∠D,两角不是对应角,不能判定△ABC≌△DEF.故选B.
4.D　解析:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC=AC=12,BD=6,∴CD=6.∵∠BED=60°,∴DE=2,BE=AE=4,∴减少用钢为(AB+AC+BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-BE-DE=(24-4)(m).故选D.
5.C　解析:∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,∴AF是顶角∠BAC的平分线.∵点F到直线AB的距离为3,∴点F到直线AC的距离为3.故选C.
6.C　解析:∵DE垂直平分AB交BC于点D,∴AD=DB.∵△ACD的周长为50 cm,∴AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=50 cm.故选C.
7.D　解析:由角平分线的判定并结合已知可知:点P在∠DBC,∠BCE,∠BAC的平分线上.故选D.
8.A　解析:全等三角形有△AOC≌△AOB,△ADC≌△ADB,△OCD≌△OBD,△AEO≌△CEO,理由:∵AB=AC,D为BC的中点,∴CD=BD,AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴OC=OB.∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC,AE=CE,根据全等三角形的判定定理SSS推出△AOC≌△AOB,△ADC≌△ADB,△OCD≌△OBD,△AEO≌△CEO,即全等三角形共4对.故选A.
9.A　解析:如图,作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,P1P2.则当M,N分别是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,由点P,P1关于OA对称,易得∠P1OP=2∠MOP,OP1=OP,∠OP1M=∠OPM=50°.同理,∠P2OP=2∠NOP,OP=OP2,∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB,OP1=OP2=OP,∴△P1OP2是等腰三角形.∴∠OP2N=∠OP1M=50°,∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°,∴∠AOB=40°.故选A.
10.C　解析:∵△ABC≌△AEF,∴AC=AF,故①正确;∠EAF=∠BAC,∴∠EAB=
∠FAC,但∠EAB不一定等于∠FAB,故②错误,④正确;EF=BC,故③正确.综上所述,结论正确的是①③④,共3个.故选C.
11.等角对等边　解析:“等边对等角”的逆命题是等角对等边.
12.50°或80°　解析:①当50°角为顶角时,顶角度数为50°;②当50°为底角时,顶角=180°-2×50°=80°.
13.3或3　解析:①三角形是钝角三角形时,如图1,∵∠ABD=30°,∴AD=AB=×6=3.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=(90°-30°)=30°,∴∠ABD=∠ABC,∴底边BC上的高AE=AD=3;②三角形是锐角三角形时,如图2,∵∠ABD=30°,∴∠A=90°-30°=60°,∴△ABC是等边三角形,∴底边上的高为=3,综上所述,底边上的高是3或3.
图1
图2
14.5　解析:如图,①若AB=BC,则符合要求的有:C1,C2,C3共3个点;②若AB=AC,则符合要求的有:C4,C5共2个点;③若AC=BC,则不存在这样的格点.∴这样的C点有5个.
15.2 cm　解析:∵在△ABC中,∠C=90°,BC=8 cm,CA=6 cm,∴AB==10 cm.∵O为△ABC三条角平分线的交点,∴OE=OF=OD.设OE=OF=OD=x,∵S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∴×6×8=OF×10+OE×6+OD×8,即5x+3x+4x=24,∴x=2,∴点O到边AB的距离为2 cm.
16.证明:∵∠A=∠D=90°,AC=BD,BC=CB,
∴Rt△BAC≌Rt△CDB(HL),
∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC(等角对等边).
17.解:∵AB=AC,∠BAC=80°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=40°.
∵AD=AB,
∴∠BDA=×(180°-40°)=70°,
∴∠E=∠BDA-∠CAD=70°-40°=30°.
18.解:∵工厂要到l1,l2,l3的距离都相等,
∴工厂必须是三条直线相交所组成的三角形的三个内角或任意两个外角的角平分线的交点,
∴工厂可以供选择的地址有4个,其中一个(点D)如图所示.(图不唯一)
19.证明:(1)∵DH垂直平分BC,且∠ABC=45°,
∴BD=DC,且∠BDC=∠CDA=90°.
又∵BE⊥AC,
∴∠A+∠ABF=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴∠ABF=∠ACD.
在△BDF和△CDA中,
∴△BDF≌△CDA(ASA),∴BF=AC.
(2)由(1)得BF=AC,
∵BE平分∠ABC,且BE⊥AC,
∴∠ABF=∠CBE,∠AEB=∠CEB=90°.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴CE=AE=AC=BF.
20.解:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=(180°-∠B)=67.5°.
∵CE=CA,∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°,
在△ABE中,∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°.
(2)不会改变.理由如下:
设∠CAE=x,
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAE=x,
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x.
在△ABC中,∵∠BAC=90°,
∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x.
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=(180°-∠B)=x+45°,
在△ABE中,∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x)-x=90°+x,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°+x)-(x+45°)=45°.
(3)设∠CAE=x,∠BAD=y,
则∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x,
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,
∴∠DAE=∠BAC.
21.解:(1)设出发x s后,△BEF为等边三角形,则AE=2x,BF=4x,BE=30-2x,
∵∠B=60°,
∴当BE=BF时,△BEF为等边三角形.
∴30-2x=4x,解得x=5,
即出发5 s后,△BEF为等边三角形.
(2)3或7.5
22.解:(1)AF=BE.证明如下:
∵△ABC和△CEF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CE,∠ACF=∠BCE=60°.
在△AFC与△BEC中,
∴△AFC≌△BEC(SAS),
∴AF=BE.
(2)成立.理由如下:
∵△ABC和△CEF是等边三角形,
∴AC=BC,CF=CE,∠ACB=∠FCE=60°,
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB,
即∠ACF=∠BCE.
在△AFC与△BEC中,
∴△AFC≌△BEC(SAS),
∴AF=BE.
23.解:(1)①如图1,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC=AD,∠BDC=90°,
∴∠ABD=∠C=45°.
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°,
∴∠MDB=∠NDC.
在△BMD和△CND中,
∴△BMD≌△CND(ASA),∴DM=DN.
②四边形DMBN的面积不发生变化.
由①知△BMD≌△CND,
∴S△BMD=S△CND,
∴S四边形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=×1×1=.
(2)DM=DN仍然成立;
证明:如图2,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC,∠BDC=90°,
∴∠DCB=∠DBC=45°,
∴∠DBM=∠DCN=135°.
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,
∴∠CDN=∠BDM.
在△BMD和△CND中,
∴△BMD≌△CND(ASA),
∴DM=DN.
(3)DM=DN仍然成立.
图1
图2