第三章 函数及其图象 第3节 反比例函数（含答案）

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第三章 函数及其图象
第3节 反比例函数
考点分析
考点1 反比例函数的图象和性质
课标要求导航：结合具体情境体会反比例函数的意义，根据图象和表达式
探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况.
例1 正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目.一段工程施工需要运送土石方总量为 设土石方日平均运送量为V(单位：m /天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足 ( )
A.反比例函数关系 B.正比例函数关系 C.一次函数关系 D.二次函数关系
例2 若反比例函数 的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是 ( )
2.1 已知反比例函数 且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积 请写出一个满足条件的k值_____________.
2.2 已知反比例函数 (k为常数且 k≠2),若在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，求k的取值范围.
例3 已知点A(-2,y ),B(-1,y ),C(3,y )在反比例函数 的图象上,则y ,y ,y 的大小关系是 ( )
3.1 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是 ( )
3.2 若点都在反比例函数 的图象上，则的大小关系是 ( )
3.3 已知点 M(2,a)在反比例函数 的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点 M 一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.4 在反比例函数 的图象上有两点, 当 时，有 则k的取值范围是 ( )
3.5 点 和点 在反比例函数 (k为常数)的图象上，若 则 0的大小关系为 ( )
例4 一次函数,二次函数 反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是 ( )
4.1 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线 交于点.则满足 的x的取值范围为____________.
4.2 列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与 部分自变量与函数值的对应关系：
1
1 ____________
__________ _____________ 7
(1)求a，b的值，并补全表格；
(2)结合表格，当 的图象在 的图象上方时，直接写出x的取值范围.
考点2 反比例函数中k的几何意义
课标要求导航：①能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况；②能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
例5 如图，在直角坐标系中，⊙A 与x轴相切于点B,CB为⊙A 的直径,点 C 在函数 的图象上，D为y轴上一点， 的面积为6，则k的值为__________.
例5图 5.1图 5.2图
5.1 如图,矩形OABC的顶点A,C 分别在y轴、x轴的正半轴上，点D 在AB上，且 反比例函数 的图象经过点D 及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM.若的面积为3，则k的值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.2 如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数(k为常数， 的图象上，过点A 作x轴的垂线，垂足为B,连接OA.若 的面积为 则
5.3如图，反比例函数 的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A，OC 在x轴上，若点 则实数k的值为__________.
【思路点拨】延长AB 交y轴于点 D，根据平行四边形面积可求出继而可得点A 坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可.
考点3 反比例函数与一次函数的综合
例6 直线 与反比例函数 的图象相交于点 与y轴交于点 C.
(1)求直线 的表达式；
(2)若 请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点 D，求 的面积.
6.1 如图,一次函数 (k为常数， 的图象与反比例函数 (m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1,n),与x轴交于点 B(-3,0).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点 P在x轴上, 是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P 的坐标.
考点4 反比例函数的应用
课标要求导航：能用反比例函数解决简单实际问题.
例7 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 v(m/s)是载重后总质量 m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6 m/s；当其载重后总质量m =90 kg时，它的最快移动速度v=___________m/s.
7.1 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位： 的反比例函数，当密度计悬浮在密度为 的水中时,h=20 cm.
(1)求h关于ρ的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，求该液体的密度.
达标训练
基础达标训练
1.已知点在反比例函数 的图象上，若 ,则有 ( )
2.反比例函数 的图象一定经过的点是 ( )
3.已知反比例函数 0)与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为 ( )
A. -3 B. - 1 C. 1 D. 3
4.在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为 ( )
5.反比例函数 的图象在第一、三象限，则点 在第_________象限.
6.跨学科·物理 杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1600 N 和0.5 m ,动力为F(N),动力臂为(m).则动力 F关于动力臂的函数表达式为__________.
7.若反比例函数 当 时，函数的最大值是a，函数的最大值是b，则
8.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y 和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)；
(2)根据表中数据，从 和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围)；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于点A(-1,n),B(2,1).
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接OA,OB,求 的面积.
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10.节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500 度电，若平均每天用电x度，则能使用y天.下列说法错误的是 ( )
A.若 则 B.若 则
C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍
11.如图,双曲线 经过A,B两点,连接OA,AB,过点 B作轴,垂足为D,BD交OA 于点 E,且E为AO的中点，则 的面积是 ( )
A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5
第11题图 第12题图
12.如图，平面直角坐标系中，原点O 为正六边形ABCDEF的中心,EF∥x轴，点E 在双曲线 (k为常数,)上，将正六边形ABCDEF 向上平移 个单位长度，点D 恰好落在双曲线上，则k的值为 ( )
D.3
13.已知 与 0)的图象交于点A(2,m),点B 为y轴上一点, 将△OAB 沿OA 翻折,使点 B 恰好落在 上点C处，则B点坐标为__________.
14.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数 的图象交于 两点.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点 P 是 y轴上一动点,连接PM,PN.当 的值最小时，求点 P 的坐标.
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15.如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A，B，与y轴交于点 C，点A 的横坐标为2.
(1)求k的值;
(2)利用图象直接写出 时x的取值范围；
(3)如图2，将直线AB 沿y轴向下平移4个单位，与函数 的图象交于点D，与y轴交于点 E，再将函数 的图象沿AB 平移，使点A，D分别平移到点C，F处，求图中阴影部分的面积.
参考答案
考点分析
【例1】 A
【例2】 D
2.1 1.5 (答案不唯一) 解析:∵ - 7＜0，∴一次函数 的图象必定经过第二、四象限. ＞0，∴反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，∴反比例函数 且k的函数图象经过第一、三象限， 又∵
2.2 解:由题意,得 ∴k＞2.
【例3】 C
3.1 B 3.2 B 3.3 A 3.4 C 3.5 C
【例 4】 C 解析：根据题意，得 解得
4.1
4.2 解:(1)当 时， 即
当x=a时, 即
解得
(2)x的取值范围为 或
【例5】 24 解析:如图,过点 A 作 AE轴于点 E，设⊙A 的半径为 r.
∵⊙A与x轴相切于点 B,.
设则点 C的坐标为(a,2r),∴
即
5.1 C 解析:∵ 四边形 OCBA 是矩形，
设点 B的坐标为(a,b).
∵矩形 OABC 的对称中心为 M，∴延长OM 恰好经过点B, 如图.
∵点 D 在 AB 上,且
过点 M作 于点 N,
点 D 在反比例函数 的图象上，
5.3 -6 解析：如图，延长AB交 y 轴于点 D.
∵ B=3OC =3,∴OC= 1.
∵ 四边形ABCO 是平行四边形，
∵点 A 在反比例函数y的图象上，
【例6】解:(1)分别将 代入 中，
得 解得
把 分别代入中，
得 解得 ∴直线y 的表达式为
(2)当 时， 或
(3)如图,连接AD.
由 得C(0,3).
把 代入 中，得 ∴D点坐标为
6.1 解:(1)把点 代入一次函数 得 解得
∴一次函数的解析式为
把点A(1,n)代入 得 A(1,3).
把点A(1,3)代入 得 解得
∴反比例函数的解析式为
(2)点 P 的坐标为(5,0)或( 0)或(2,0).
【例7】 4
7.1 解:(1)设h关于ρ的函数解析式为
把 代入，得
∴h关于ρ的函数解析式为
(2)把 代入 得 解得
答：该液体的密度ρ为(
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1. A 2. B 3. A 4. C 5.四
解析：∵反比例函数 当 时，函数y 的最大值是a，∴y 随x增大而减小，当 时，函数最大值 反比例函数 当 时，函数y 的最大值是b，∴y随x增大而增 大，当 时，函数最大值
8.解:(1)
∴y与x的函数不可能是
故选一次函数.
将点(23,156),(24,163)代入解析式，得 解得
∴一次函数解析式为y=7x-5.
(3)当x=25.8时,y=7×25.8-5=175.6(cm).
答：脚长约为25.8cm ，估计这个人的身高为175.6cm.
9.解:(1)∵一次函数 y = kx +b 的图象与反比例函数 的图象相交于点A(-1,n),B(2,1),∴m=-n=2,∴m=2,n=-2,∴反比例函数的表达式为
∵一次函数 y =kx +b 的图象过A(-1,-2),B(2,1),
解得
∴一次函数的表达式为y=x-1.
(2)如图，设直线与 x 轴的交点为点 C.
在函数 中，当 时，∴ C(1,0),即
10. C
11. A 解析:如图,过点A作 轴，垂足为 M，连接OB,
则 ×12=6.
∵ E是OA 的中点,即 OE而
即
2AM DE
12. A 解析:如图，作 EF交EF 的延长线于点 G，交反比例函数图象于点 H.
∵原点 O 为正六边形ABCDEF 的中心, ∥轴，
设正六边形ABCDEF 的边长为a,则
∵点E,H 都在反比例函数图象上， 解得
13.(0,4) 解析:∵点A 在 上，
又∵A在反比例函数 上,∴k反比例函数为
由翻折的性质，得BC∴可设 BC的解析式为 b).
设直线 BC与直线OA的交点为 P,
又∵ B与C 关于直线OA 对称，且B(0,b),
又∵C 在反比例函数 上， 或 (舍去),∴B(0,4).
14.解: 在反比例函数上，
∴反比例函数表达式为
∵N(n,1)在反比例函数 上，
设一次函数表达式为 解得
∴一次函数的表达式为
(2)如图，设直线交x轴于点A，交y轴于点 B.
∵直线为
(3)如图，作点 M 关于y轴的对称点 连接 交y轴于点 P，则的最小值等于 的长.
与 关于y轴对称，
又∵N(2,1),∴ 直线 的表达式为
令 则
15.解:(1)∵点A在 的图象上，∴当 时， ∴A(2,3),
∴将点A(2,3)代入. 得
(2)由(1)可知一次函数解析式为
联立，得 解得 或
根据图象可知不等式的解集为或
(3)由题意可知,C(0,1),CE=4.如图，过点 C作 垂足为G.
又∵A(2,3),C(0,1),
由平移性质可知，阴影部分面积就是 的面积，即
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