第三章 函数及其图象 第4节 二次函数的图象与性质（含答案）

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第三章 函数及其图象
第4节 二次函数的图象与性质
考点分析
考点1 二次函数的图象和性质
课标要求导航：①能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；②会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值；③通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
类型1 对称轴与顶点
例1 已知抛物线 m为实数.如果该抛物线经过点(4，3)，求此抛物线的对称轴和顶点坐标.
1.1 如图所示，直线为二次函数y的图象的对称轴，则下列说法正确的是 ( )
A. b恒大于0 B. a,b同号 C. a,b异号 D.以上说法都不对
1.2 二次函数 的最大值是___________.
类型2 增减性
例2 已知点A(a,3),B(b,3),C(c,8)都在抛物线y上，点A 在点 B 左侧，下列选项正确的是 ( )
A.若c＜0,则c＜a＜b B.若c＜0,则a＜c＜b
C.若c＞0,则c＜a＜b D.若c＞0,则a＜c＜b
2.1点 均在二次函数
的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是 ( )
类型3 最值
例3 已知二次函数 (h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为 则h的值为 ( )
A.-2或4 B.0或6 C.1或3 D.-2或6
3.1 在平面直角坐标系中，若点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为完美点.已知二次函数 的图象上有且只有一个完美点，且当 时，二次函数 的最小值为 最大值为4，则m的取值范围是 ( )
类型4 二次函数系数a，b，c与图象的关系
例4 已知抛物线 的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
(m为任意实数)
4.1 一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
4.2 如图,二次函数 的图象与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点 B，对称轴为直线. 下列四个结论:则 其中正确结论的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.2图 4.3图
4.3 已知抛物线 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( )
(m为实数)
类型5 图象的平移
例5 将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为___________.
5.1 将抛物线 向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是___________.
5.2 将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点( 则
类型6 函数图象与性质的综合
例6 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：②方程 一定有一个根在 和-1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；其中，正确结论的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.1 已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ( )
A.图象的开口向上
B.当 时，y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线
【思路点拨】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题.
6.2 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表：
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列结论：
②关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根；
③当 时，y的取值范围为(
④若点( 均在二次函数图象上，则
⑤满足 的x的取值范围是 或
其中正确结论的序号为__________.
6.3 在平面直角坐标系xOy中,点 在二次函数 的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线
(1)求m的值;
(2)若点 在 的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象.当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图象与x轴交点为 若 求a的取值范围.
考点2 二次函数解析式的确定
例7 如图，抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).求抛物线的解析式.
7.1 已知二次函数 的图象经过两点，其中a，b，c为常数，且
(1)求a,c的值;
(2)若该二次函数的最小值是 ，且它的图象与x轴交于点A，B(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点 C.求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
7.2 已知二次函数 (b,c为常数)的图象经过点 对称轴为直线
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移 个单位长度后，恰好落在 的图象上，求m 的值；
考点3 二次函数与方程、不等式的关系
课标要求导航：知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
例8 抛物线 与x轴只有一个公共点，则c的值为 ( )
C. - 4 D.4
8.1 如图，抛物线 的顶点坐标是(1，m)，若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的取值范围是___________.
8.2 若抛物线 (c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是_____________.
8.3 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 都有 求a 的取值范围.
达标训练
基础达标训练
1.如图，二次函数 的图象与x轴交于 B两点，下列说法正确的是 ( )
A.抛物线的对称轴为直线. B.抛物线的顶点坐标为
C. A，B 两点之间的距离为5 D.当时，y的值随x值的增大而增大
2.若点(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函数 的图象上，则( )
3.将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 ( )
4.已知抛物线 (a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是 ( )
5.二次函数 0)的图象如图所示，给出下列结论:①;②
③当 时， 其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D. ①②③
6.定义运算： 例如：则函数 的最小值为 ( )
7.抛物线 与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是 ( )
8.已知二次函数 (x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为 ( )
9.已知二次函数 若点 P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为_____________.
10.若二次函数 的图象与x轴有交点，则m的取值范围
是_____________.
高分提能训练
11.抛物线 与直线交于 两点，若 则直线一定经过 ( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
12.已知二次函数 ，当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是 ( )
13.已知二次函数 (a为常数，且 下列结论：
①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；
③当 时，y随x的增大而减小；④当 时，y随x的增大而增大.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.② D.③④
14.已知二次函数 的图象经过 两点，则下列判断正确的是 ( )
A.可以找到一个实数a，使得 B.无论实数a取什么值，都有
C.可以找到一个实数a，使得 D.无论实数a取什么值，都有
15.已知反比例函数 在第一象限内的图象与一次函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为 ( )
16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0),若点 C(2,3)在抛物线上，则AB 的长为____________.
17. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y 函数”.
例如：函数 与 互为“Y函数”.若函数 的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________.
18.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，点A 的坐标为0),点C 的坐标为连接BC.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P 是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当 的面积最大时，求BC 边上的高PN的值.
冲刺满分训练
19.综合与实践 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出，求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成如表：
a ... -4 -2 0 2 4 ...
x ... * 2 0 -2 -4 ...
y的最小值 ... * -9 -3 -5 -15 …
注：*为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=-a，就能得到y的最小值.”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式 解释甲同学的说法是否合理
(3)你认为乙同学的猜想是否正确 若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
参考答案
考点分析
【例1】解:∵ 抛物线 经过点(4,3),
解得
∴此抛物线的对称轴为直线 顶点坐标为
1.1 C 1.2
【例2】 A 2.1 C
【例3】 D 3.1 C
【例4】 D 4.1 A
4.2 C 解析:①∵ 二次函数图象开口方向向上，对称轴在y轴右侧,∴a,b异号, 抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c故①错误；②∵二次函数图象与x轴交于点A(3，0)，对称轴为直线 图象与x轴的另一交点坐标为(-1，0),∴b= - 2a,a-b+c=0,∴3a+c=0,∴3a+2c<0,故②正确;③∵图象对称轴为直线x=1,a>0,∴
b+c,即 故③正确；④c=-3a.∵ - 24.3 C 解析：由抛物线开口向上知，a>0.∵抛物线的对称轴为直线x 0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c <0,∴ abc>0,故A 错误,不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线 x =1,且过点(3,0),∴抛物线与x轴的另一交点为(-1，0)，由图象知，-10,故B错误,不符合题意;∵x=3时y=0,∴9a+3b+c =0.∵b = - 2a,∴9a+3×(-2a)+c=0,∴3a+c=0,故 C正确，符合题意； 故 D错误，不符合题意.
【例5】 (1,2) 5.1 k≥3 5.2 2
【例6】 B 解析：∵抛物线的对称轴为直线 故①正确；∵ 抛物线的对称轴为直线. 与x轴的一个交点在2，3之间，∴与x轴的另一个交点在-1，0之间，故②错误；∵由图象可知，抛物线 与直线 有两个交点，∴方程 =0一定有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线与x轴的另一个交点在-1，0之间，. 0.∵图象与 y轴交点的纵坐标是2 2，故④错误.综上所述，正确的结论有2个.
6.1 D 解析：由表格数据，得 解得 所以这个二次函数的解析式为 因为 所以图象开口向下，故A 选项不符合题意.因为 ，所以图象的对称轴是直线x=1,当x>1时,y 随x的增大而减小，故B 选项不符合题意，D选项符合题意；令 得 解得 所以图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(2,0).又因为图象的顶点坐标为(1，1)，所以图象经过第一、三、四象限，故C 选项不符合题意.
6.2 ①②④ 解析:把( 9),(1,5)代入
得解得 ∴故①正确；当y=9时, 即 0，∴关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线抛物线的顶点坐标为 又 当x时，y随x的增大而增大.∵x时， 时， 当时，y的取值范围为故③错误； ∴点 关于对称轴对称， y ,故④正确;由得 即 画函数 2x+8和 的图象如下：
联立 解得 ∴A(2,0),B(-5,5).
由图形可知,当x<-3或x>2时,即 ,故⑤错误.综上所述，正确的结论为①②④.
6.3 解:(1)∵点 P(2,-3)在二次函数 的图象上，
∴4a+2b-3 = - 3,解得b= - 2a,∴抛物线的对称轴为直线 =1,∴m=1.
(2)∵点 Q(1,-4)在 -3的图象上，∴a-2a-3=-4,解得a=1,
∴抛物线解析式为
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为
∵0≤x≤4,∴当x=1时，函数有最小值为1，当x =4时，函数有最大值为(4-∴当0≤x≤4时，新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
的图象与x轴交点为(
∵
解得
【例7】 解:将B(1,0),C(0,3)代入抛物线
得 解得 ∴抛物线的解析式为
7.1 解:(1)∵二次函数图象过(0, 两点，
(2)由(1)知该二次函数的解析式为
∴当 时，函数值最小，为y
解得b=±2.
∵ab>0,∴b=2,∴二次函数解析式为
令y=0,则 解得
∴点 A 坐标为(-3,0),点 B 坐标为(1,0).
7.2 解:(1)∵二次函数 c图象的对称轴为直线
∴b=1.
又∵ 二次函数的图象经 过点A(-2,5),∴4-2+c=5,∴c=3,
∴二次函数的表达式为 +3.
(2)∵点 B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度(m>0)后的点为(1-m,9),且(1-m,9)在 的图象上，
解得m=4或m=-1(舍去),∴m=4.
【例8】 B 8.1 0
8.3 解:(1)当 时，
∴抛物线的顶点坐标为(
(2)由题意，得
①当 时，则
或 解得 或
或 ∴a<1或
②当 时，则
或 解得
解得
综上所述，a的取值范围为( 1或
达标训练
1. C 2. A 3. A
4. C 解析:∵ 抛物线顶点为(-1, -2),∴ 可设抛物线为
又∵抛物线为y∵抛物线与 y轴的交点在 x 轴上方,∴c=a-2>0,∴a>2>0,故A，B均不正确；∵抛物线的顶点为(-1,-2),∴ 当x = - 1时,y=a-b+c= - 2,故C正确;∵b=2a,c2)=8a>0,故D错误.
5. D 6. B
7. A 解析:∵抛物线 c与x轴交于两点，分别为和 且 由根与系数的关系，得
-c,∴ - c-b+1<0,∴b+c>1.
8. A 9. 2 10. m≤ 11. D
12. C 解析: -1，∴抛物线的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1, - 1).∵1-(-1)=3-1,∴x = - 1 和x=3时的函数值相等.∵ - 1≤x
≤t-1,当x = - 1时,函数取得最大值，当x=1时，函数取得最小值，∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.
13. B
14. C 解析：∵二次函数解析式为y ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线 顶点坐标为当 时， 当 时， 故A，B错误，不符合题意；当 时， 由二次函数对称性可知，点(0,a)和点(2a,a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当 时， 0;当 时， 由二次函数对称性可知，点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当. 时， 但不一定小于0.故C 正确，符合题意；D错误，不符合题意.
15. A 16.4 17.(3,0)或(4,0)
18.解:(1)把 和 代入
得 解得
∴该二次函数的解析式为
(2)令y=0,则 解得
∴点B 的坐标为(6,0),
设直线 BC 的解析式为y= mx+n,将B(6,0),C(0,-3)代入,
得 解得 ∴直线 BC 的解析式为
过点 P 作 PD⊥x轴交 BC 于点 D,如图.
设点 P 的坐标为3)，则点 D 的坐标为
∴x=3时, 取最大值， 最大为
19.解:(1)①当 时，
②当 时，y取得最小值,最小值为16-32-7= - 23.
(2)∵1>0,∴函数有最小值,且当 时，y取得最小值，故甲同学的说法合理.
(3)乙同学的猜想正确.当x=-a时,
∵ - 1<0,∴y有最大值,∴当 时，y的最大值为
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