2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.某大学开设篮球、足球等门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程现有小明、小强、小豆位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数有最小值
B. 函数有最大值
C. 函数有且仅有三个零点
D. 函数有且仅有两个极值点
4.在等比数列中，已知，，则公比( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上动点，点为圆上动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，则函数的极大值之和为( )
A. B. C. D.
8.已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆：的圆心到直线的距离为
C. 圆：与圆：恰有三条公切线
D. 两圆与的公共弦所在的直线方程为：
10.已知曲线：，则下列判断正确的是( )
A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 曲线上的点与原点的最小距离为
C. 曲线在第一、四象限的任意一点到点的距离与其横坐标之差为定值
D. 直线：，则该直线与曲线无公共点的充要条件为且
11.已知正项数列满足，，记，，则( )
A. 是等差数列 B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线在处的切线的倾斜角为，则 ______．
13.若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围为______．
14.已知双曲线：的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且为坐标原点，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，为边上一点，且平分．
若，求；
若，求线段的长．
16.本小题分
如图，三棱锥由三个以为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板和为两个全等的直角三角板，且，，分别为，的中点，平面与平面的交线为．
证明：平面；
点在直线上，直线与直线的夹角为，直线与平面的夹角为，是否存在点，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知等差数列的首项，公差为，其前项和为，．
求证：数列是等差数列；
若也是等差数列，求数列的前项和．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切．
求的方程；
记的左、右顶点为，弦轴，记直线与直线交点为，其轨迹为曲线．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ直线，是曲线的任意两条切线，且，试探究在轴上是否存在定点，满足点到，的距离之积恒为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
设函数
当时，讨论函数的单调性；
曲线与直线交于，两点，求证：；
证明：．
参考答案
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15.解：设，
因为平分，，故，
在中，由正弦定理，可得，
又由余弦定理有，
又，所以，
故；
由，得，
又由，
得．
16.解：证明：，分别为，的中点，，
平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
，
，，且，
，平面，
平面，平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，设，则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
由题意，
，解得，
符合题意的点存在，．
17.证明：由题知，，
又是公差为的等差数列，
故，
，
故为定值，
又，
所以是首项为，公差为的等差数列．
解：因为是等差数列，
所以，
即得舍或，
故，
故，
故．
18.解：由题知，取的一条渐近线，设以为圆心为半径的圆与相切于，
则中，，且，
所以，，
故所求双曲线的方程为；
Ⅰ设，则，设点，又，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
得，
又在双曲线上，所以，可得，
，化简可得，，
即曲线的方程为；
Ⅱ由不包括椭圆左，右顶点知，的斜率存在，
设：，：，
联立，
由，
同理，故．
设存在，则，又，
所以或不恒成立，舍去，
所以，所以，所以点．
综上可得：存在；或．
19.解：当时，，
，
时，，单调递减；时，，单调递增．
证明：，则，
由题意，知有两解，，不妨设，
要证，即证，
若，则；
若，由知，在上单调递减，在上单调递增，也有，
综合知，，只需证．
又，，
两式相减，整理得，代入式，
得，即．
令，即证．
令，则，
在其定义域上为增函数，
，
成立．
证明：由知，，故，，
取，，则，
累加，得．
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