2024-2025学年吉林省松原市五校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省松原市五校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.已知等差数列中，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.若两条直线与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线交于，两点，则三角形的周长为( )
A. B. C. D.
6.已知圆与圆的公切线条数是( )
A. B. C. D.
7.正三棱柱的所有棱长都为，则到平面的距离是( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点分别为、，若该双曲线上存在点，使得，的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，则( )
A. B.
C. D.
10.已知等比数列的公比为，前项和为，若，且，，则( )
A. B. C. D.
11.已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则( )
A. 的值随着的增大而减小
B. 是定值
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线上一点与焦点的距离等于，则 ______．
13.已知两定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为______．
14.棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线：上．
求圆的方程；
若直线与圆的交点为，两点，求．
16.本小题分
记为正项数列的前项和，已知．
证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，．
证明：平面平面；
若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知，，是抛物线上三点，直线和均与抛物线相切．
若，求；
试判断直线与的位置关系，并给出证明．
19.本小题分
已知无穷数列中，，记，，．
若为，，，，，，，，，是一个周期为的数列即，，直接写出，，，的值；
若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；
设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列．
参考答案
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15.解：，，弦的中点坐标为，，
弦的垂直平分线的斜率为，
弦的垂直平分线的方程为，即，
，解得：，，圆心坐标为，圆的半径，
则圆的方程为：；
由知，圆心到直线的距离为，
圆的半径，．
16.解：证明：由，令得，
解得或，
又因为是正项数列，
所以，
所以，
即，
当时，，
两式作差得，
即时，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故；
由知，
所以，
所以，
则，
两式相减得，
所以．
17.解：证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，即，
因为，，，所以≌，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
由得两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
于是．
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，可得．
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，
故直线与平面所成的角为．
18.解：设经过点与相切的直线方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
整理得，
因为直线，都与抛物线相切，
所以直线斜率是方程的两根，
所以，
解得；
证明：设，，
因为点在上，
所以，
此时，
因为，两点均在抛物线上，
所以，
切线的方程为，
即，
联立，消去并整理得，
因为与相切，
所以，
即，
同理得，
因为，
所以，，
此时，
所以直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时．
则直线与抛物线相切．
19.解：，，，；
证明：不妨设的周期为，
记，，
则当时，是常数，
即，使得当时，是常数，结论正确．
证明充分性：若为公差为的等差数列，
则，
于是，因此．
必要性：因为，，
，，
，于是，因此．
故数列是公差为的等差数列．
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