2024-2025学年吉林省友好学校联考高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省友好学校联考高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.若等差数列的公差，：：，则( )
A. B. C. D.
5.已知正数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
7.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为( )
A. B. C. D.
8.函数在上的大致图象为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，，则
D. 若，，，则
10.内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
11.函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在处有极小值
B. 函数在处有极小值
C. 函数在区间内有个极值点
D. 导函数在处有极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若实数，成等差数列，，，，，成等比数列，则 ．
13.已知幂函数在上单调递减，则 ______．
14.已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则椭圆的方程可以为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知，函数，当时，．
求，的值；
求的单调区间．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点．
证明：平面平面．
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：，直线：．
若直线与双曲线有两个不同的交点，求的取值范围；
为双曲线右支上一动点，点的坐标是，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，试求函数图象在点处的切线方程；
若函数有两个极值点、
求的取值范围；
不等式恒成立，试求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.解：由，，
可得数列是首项为，公差为的等差数列，
则；
数列为单调递增等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，
可得，，即，解得，，
则；
，
则数列的前项和．
16.解：，．
，，
因此，可得．
又，
，解得：，分
由知，，得，
令，得，
函数的增区间为，
得函数的减区间为
令，得，
函数的增区间为，
得函数的增区间为，
综上所述，得的单调增区间是，单调减区间是
17.证明：因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为平面平面且相交于，，
所以平面，又平面，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，故D，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
由题意可知是平面的一个法向量，
所以，
故二面角的余弦值为．
18.解：联立，消去并整理得，
此时，
解得且，
所以；
设，
因为点的坐标是，
所以，
因为．
所以时，取得最小值，最小值为．
19.解：时，，故．
故，又，
故函数图象在点处的切线方程为，
即；
，
函数在上有两个极值点，需满足在上有两个不等的根，
由得，
则，故此时，即的取值范围是；
，，，则可得，，
由不等式恒成立，则，
，
令，则，
因为，，，
又所以，即时，单调递减，
所以，即，
故实数的取值范围是．
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