2024-2025学年江苏省无锡一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. 不存在， B. ，
C. ， D. ，
3.“”是为奇函数的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，，，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象( )
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
6.函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
7.已知角，满足，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，，且，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线对称
11.已知实数，为函数的两个零点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.函数的图象如图所示，则 ______．
14.已知函数，，，，以，，的值为边长可构成一个三角形，则整数的所有可能取值的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的终边经过点，
求值；
求的值．
16.本小题分
已知函数．
求；
解关于的不等式；
若存在，，使得，且，求的最小值．
17.本小题分
某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月每月月底测量一次，通过一年的观察发现，自年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积单位：与时间单位月的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记年元旦最初测量时间的值为．
根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的倍以上？
参考数据：，
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数在区间上的单调递增区间；
函数在区间上恰好有个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．
类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程；
求函数的零点．
解关于的不等式：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为角的终边经过点，
所以，，
；
．
16.解：因为，
所以．
当时，，
即，解得，
当时，，
所以，得，
故原不等式解集为；
设，
由题意可知在上单调递减且，
在上单调递增且，
所以，
不妨设，
由，
；
所以，
易知在上单调调递增，
所以，
所以．
所以最小值为．
17.解：由三月底面积增量几乎是二月的一倍，
根据幂函数，指数函数，对数函数增长快慢的比较，选择比较合适，
由题意可得，解得，
；
由可知，
令得，，即元旦开始研究探讨时该水生植物面积为，
由，得，
解得，
，
故，
所以池塘中该水生植物面积应该在月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的倍以上．
18.解：．
，
所以的最小正周期．
令，则，
因为，的单调增区间是
由选，
得，
所以在内的单调递增区间为；
令，
由题意得
所以．
19.解：由条件类比得到，
证明如下：因为，
，
所以，
因为，
若函数的零点，
令，则，
即，
即，
解得或舍，
所以，
即，
即，
解得或，
所以，
即函数的零点为，；
因为，
所以原不等式可化为，
也即，，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为，
当时，
令可得或，
原不等式的解集为；
当时，
原不等式的解集为；
综上所述不等式的解集是：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
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