2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是( )
A. B. C. D.
4.直线与直线平行，则实数值为( )
A. B. 或 C. D. 或
5.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，点是侧面正方形内的动点，点是正方形的中心，且与平面所成角的正弦值是，则动点的轨迹图形的面积为( )
A. B. C. D.
8.过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法命题正确的是( )
A. 已知，则在上的投影向量为
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
D. 若向量是不共面的向量则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
10.过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，在线段上，若，且，为原点，则下列说法正确的是( )
A. B. 以为直径的圆与准线相切
C. 直线斜率为 D.
11.年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”伯努利双纽线最早于年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 双纽线是中心对称图形
C. D. 到，距离之和的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在多项式的展开式中，的系数为，则 ______．
13.已知椭圆和双曲线焦点相同，，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则 ______．
14.已知曲线上任意一点，都有的和为定值，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为正整数展开式的所有项的二项式系数和为
求该式的展开式中所有项的系数之和；
求该式的展开式中无理项的个数；
求该式的展开式中系数最大的项．
现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人；
名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
名老师之间必须有男女学生各人．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且，分别为，的中点．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，实轴的左、右顶点分别为，，虚轴的上、下顶点分别为，，且四边形的面积为．
求双曲线的标准方程；
已知直线：与交于，两点，若，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，．
求证：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
19.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求椭圆的离心率；
过点的直线与椭圆交于，两点不在轴上．
若的面积为，求直线的方程；
直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
参考答案
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15.解：已知为正整数展开式的所有项的二项式系数和为，
可得，
令得，所以展开式中所有项的系数之和为；
的通项为，，
所以当时对应为展开式中的无理项，所以共有个无理项；
由及题意，知，解得，则，
所以展开式中系数最大的项为；
由题意，老师、男女学生在对应位置上作全排列，
结合分步计数原理，有种不同的站法．
先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，最后排剩余的名男学生有种站法，
所以共有种不同的站法，
先任选男女学生各一名站两位老师中间，有种站法，两位老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
16.解：证明：在直四棱柱中，底面为矩形，
，且，分别为，的中点，
设，则，以坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，取，得，
又，，
平面，平面．
设是平面的一个法向量，
，
则，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
，平面的一个法向量，
到平面的距离为．
17.解：由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，，
所以四边形的面积为，
因为离心率为，
联立，
解得，
则双曲线的标准方程为．
设，线段中点，
联立，消去整理得，
此时，
即且，
由韦达定理得，
所以，
因为，
所以，
所以，
此时，
因为，
又且，
解得或．
则实数的取值范围是．
18.证明：因为，平面，
所以平面，同理平面，
又，平面，，
所以平面平面，平面，
所以平面；
解：取的中点，因为，
所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
在四边形中，因为，，，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，，，，，，，
，，
设，则，
设为平面的法向量，
则，即，
令，故，
，，，
所以，，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理可得：，解得或舍去，
所以，
所以．
19.解：由题可得：，解得：，
所以椭圆的离心率为；
由可知椭圆的方程为，
显然，直线的斜率不等于，
设过点的直线为，，，
联立，化简得：，则恒成立，
所以，，
所以
，
解得：，即，
所以直线的方程为：；
证明：由可知，，
，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
记以为直径的圆与轴交于，两点，
由圆的弦长公式可知，
，
解得：，为定值．
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