2024-2025学年辽宁省沈阳市重点联合体高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市重点联合体高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则( )
A. B. C. D.
2.的二项展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的离心率为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，若，，共面，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆：外切，则( )
A. B. C. D.
6.小武是年月日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的个数字进行排列得到一个位数的密码，那么小武可以设置的不同密码的个数为( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，，，，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的左焦点为，上、下顶点分别为、，直线的斜率为，并交椭圆于另一点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，直线：，若，则实数可能的取值为( )
A. B. C. D.
10.已知向量，，则( )
A.
B.
C. 向量，的夹角的余弦值为
D. 若向量为实数，则
11.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆：交于，两点，若，则下列选项正确的是( )
A. 曲线的离心率为
B. 圆心到双曲线的渐近线的距离为
C. 所在直线方程为
D. 直线被双曲线的渐近线截得的线段长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式的二项式系数和为，则等于______．
13.如图，平行六面体中，，，，，则的长为______．
14.近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田如图所示，计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市教育局决定派出名心理咨询专家男女到甲、乙学校进行心理问题调研．
每所学校均有名专家参加调研，有多少种的安排方法？
每所学校至少有人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？
16.本小题分
已知圆的方程为．
求实数的取值范围；
若圆与直线：交于，两点，且，求的值．
17.本小题分
在的展开式中，求：
第项的二项式系数及系数；
奇数项的二项式系数和；
求系数绝对值最大的项．
18.本小题分
如图，在长方体中，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，已知抛物线：上的点的横坐标为，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为异于点，，且直线交线段于点．
求抛物线的方程；
求证：为定值；
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题知，每所学校均有名专家参加调研的安排方法有种．
分三类：第一类，甲校有人，
则安排方法有种，
第二类，甲校人，
则安排方法有种，
第三类，甲校人，
则安排方法有种，
故每所学校至少人且必须有女专家共有种．
16.解：已知圆的方程为，
方程可化为，
因为此方程表示圆，所以，即，
故实数的取值范围是；
若圆与直线：交于，两点，
由可得圆心，半径，
如图，过点作于点，则，
圆心到直线：的距离为，
由图可得：，即，
解得：，
即的值为．
17.解：展开式的通项公式为，，，，，
由通项公式可得第项的二项式系数为，系数为；
奇数项的二项式系数和为，
展开式的各项的系数的绝对值为，，，，，
设第项的系数绝对值最大，则，
解得，则，
所以系数的绝对值最大的项为．
18.解：证明：在长方体中，建系如图：
则，，，，
，，，
，，，
，，
，，又，，平面，
平面；
设平面的法向量为，又，，
则，取，又，
直线与平面所成的角的正弦值为：
，．
19.解：抛物线：的焦点坐标为，准线为，
因为，所以，解得，所以抛物线为；
证明：设直线：，
由，可得，
则，解得，
则，解得，
不妨令直线：，
直线：，则，，
设，，设直线：，
由，可得，
由，可得或舍，
则，直线：，
由，解得，即，
故为定值．
第1页，共1页