2024-2025学年内蒙古西部地区高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古西部地区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，则为( )
A. B.
C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若一个扇形的面积为，圆心角为，则这个扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则其图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.若存在正实数，，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体已知，是函数的图象上两个不同的点，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在实数集上的函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知，，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若是第三象限角，且，则
D. 若角的终边过点，则
12.设是定义域为的单调函数，对，，，，则( )
A. B.
C. 是减函数 D. 当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，若，求 ______．
14.已知幂函数在区间上单调递减，则函数且的图像过定点______．
15.已知是定义在上的奇函数，时，，则______．
16.已知函数，若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
计算：
若，若，求的值；
．
19.本小题分
已知函数为偶函数．
求实数的值；
解关于的不等式．
20.本小题分
某科研小组研究发现：一颗梨树的产量单位：百千克与肥料费用单位：百元满足如下关系：投入的肥料费用不超过百元时，；投入的肥料费用超过百元且不超过百元时，此外，还需要投入其他成本如施肥的人工费等百元已知这种梨的市场售价为百元百千克，且市场需求始终供不应求记该棵梨树获得的利润为单位：百元．
求利润的函数解析式；
当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
21.本小题分
函数对任意的实数，，都有，且当时，．
求的值；
求证：是上的增函数；
若对任意的实数，不等式都成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数满足，函数．
求函数的解析式；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：集合，．
由得，解得，即，或，当时，，或，
或．
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
由知：，所以
且等号不同时成立，解得，即实数的取值范围是．
18.解：，，，，，．
．
19.解：函数为偶函数，
，即，
，
；
，
当时，在单调递增，在上单调递增，
又函数为偶函数，函数在上单调递增，在上单调递减，
，，解得或，
所求不等式的解集为．
20.解：由题意，，
即；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最大值，
当时，，
所以当时，取得最大值，
因为，
所以当投入的肥料费用为百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是百元．
21.解：因为函数对任意的实数，，都有，
令，则，所以；
证明：设，且，取，，
则，即，
由于当时，，因为，所以，
即，
由增函数的定义可知是上的增函数；
不等式等价于，
由可知是上的增函数，
故在上恒成立，
下面求函数的最大值：
令，，其对称轴为，
故有：当时，
函数递增，函数递增，故函数递增；
当时，函数递增，函数递减，故函数递减；
因此，函数在时有最大值，即所求范围为．
22.解：因为，
所以，
故联立上述方程组，解得．
由知，，．
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，所以在上恒成立，
所以，在上恒成立，
因为，所以当时，取得最大值，最大值为，
所以在上恒成立，则，
所以的取值范围是．
方程等价于，
即，，
令，则，
因为方程有四个不同的实数解，
所以，有两个不同的正根，
记，所以，．
综上，的取值范围为
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