2024-2025学年陕西省西安市庆安高级中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市庆安高级中学高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
4.若幂函数是偶函数，则( )
A. B. C. D. 或
5.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.星等是衡量天体光度的量为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：等星的星等值为已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则( )
A. 等星的亮度是等星亮度的倍 B. 等星的亮度是等星亮度的倍
C. 等星的亮度是等星亮度的倍 D. 等星的亮度是等星亮度的倍
7.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
8.若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若一个扇形的弧长为，面积为，则( )
A. 该扇形的圆心角为 B. 该扇形的半径为
C. 该扇形的圆心角为 D. 该扇形的半径为
10.关于的不等式的解集为的充分不必要条件有( )
A. B. C. D.
11.已知，，函数，，若，，且函数的最大值为，则( )
A. B.
C. 当时， D. 曲线关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义在上的奇函数，若，，则 ______．
13.已知，则 ______， ______．
14.已知函数，且在上单调递增，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的定义域；
求方程的解集．
16.本小题分
已知是第四象限角，且．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数．
求的单调递减区间；
用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在如图的坐标系中作出在一个周期内的简图．
列表：
画图：
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，判断的单调性并用定义法加以证明；
若，求不等式的解集．
19.本小题分
设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得为非零常数恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值．
若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，并说明理由；
若函数，，，，与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围；
若函数，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围．
参考答案
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15.解：．
由，得，所以函数的定义域为；
，
所以，整理得，解得舍或，
所以方程的解集为．
16.解：已知是第四象限角，且，
，
，
则的值为；
，
，
则的值为．
17.解：令，，
，，
即的单调递减区间为．
表格如下：
描点，连线，可得在一个周期内的简图，如下：

18.解：，
所以，，
解得；
在上单调递增，证明如下：
由题意得，故，
又且，解得，
的定义域为，
任取，，且，
则，
因为在上单调递增，，所以，
又，
故，
即，
所以在上单调递增；
由题意得，
所以，，
解得，
故，
由，得，
即，化简得，
所以，
解得，
不等式的解集为．
19.解：与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，理由如下：
易知函数在上单调递增，
，，
的值域为，
又余弦函数的性质可知，的值域为，
若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，
则对任意的，存在，使得，
根据与的取值范围分别是，，
因此，对于的取值范围内的所有的值，都可以找到一个的值，
使其满足，
故与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合；
，都是增函数，
在上为增函数，
，，
的值域是，
若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，
则有，
由于的值域是，
所以的值域为，
为了使等式符合定义要求，的值域也必须包含于，
由于的值域为，
则，
解得，
则实数的取值范围为；
由复合函数的单调性法则可知，函数在上单调递减，
在上单调递增，
又，
则当时，，
当时，，
因此的值域为，
当时，，
则，可得，
因此的值域为，
若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，
，
为了使等式符合定义要求，
的值域也必须包含，
当时，满足，解得：；
当时，满足，解得：；
综上的取值范围为：．
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