2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市黄浦区向明中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的图像恒过定点，则的坐标是( )
A. B. C. D.
2.若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房如图，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.集合，，则 ______．
6.设命题：，，则命题的否定为______．
7.已知等差数列满足，则的值为______．
8.已知数列的前项和，则其通项公式为______．
9.已知正实数、满足，则的最小值为______．
10.已知幂函数在上单调递减，则实数______．
11.设等比数列的各项均为正数，且，则______．
12.已知，，则 ______用，的代数式子表示
13.函数的单调递增区间为______．
14.已知集合，集合，若，则实数的取值集合为______．
15.已知对于任意的，，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为______．
16.已知奇函数的定义域为，当时，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列关于的不等式的解集：
；
．
18.本小题分
已知全集，集合，．
若，求实数的取值范围；
命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
设数列的前项和为，求．
20.本小题分
某次展会上，跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调生产此款空调预计全年需投入固定成本万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调需另投入的资金万元现每千台空调售价为万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
求企业年利润万元关于年产量千台的函数关系式；
产量为多少千台时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？注：利润销售额成本
21.本小题分
已知函数常数．
若，且，求的值；
若，求证：函数在上是增函数；
当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.，
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.答案不唯一，或或其中一个即可
16.
17.解：，，
，或，
不等式的解集，．
当时，则不成立，，
当，即时，
令，则或，
若时，，或，
若时，，或，
综上，当时，不等式的解集为，
若时，不等式的解集为或，
若时，不等式的解集为或
18.解：集合，
因为，
所以，
所以，
若，则或，
解得或，
即实数的取值范围为或；
由可知，集合，，
若是的必要条件，则，
则，
解得或，
所以实数的取值范围为．
19.解：证明：数列的首项为，且满足，
可得，即有是首项为，公差为的等差数列，
则，即；
数列的前项和，
，
相减可得
，
即有．
20.解：因为，当生产千台空调需另投入的资金万元，
所以，解得；
所以，
即；
当时，，
当时，取得最大值为；
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值为；
综上所述：当时，取得最大值，
即产量为千台时，企业所获年利润最大，最大利润为万元．
21.解：当时，，
由得，即，解得或舍，
；
证明：，
当，时，，则，
函数在上是增函数；
为奇函数，
，解得，经验证，时符合题意，
，
又为上的单调递增函数，
当时，，
设，则原问题等价于存在，使得成立，即成立，
设，，
由双勾函数的性质可知，在单调递增，
，即实数的取值范围为．
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