2024-2025学年天津市耀华中学高三（上）第三次月考数学试卷（1月份）（含答案）

2024-2025学年天津市耀华中学高三（上）第三次月考
数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共9小题，共145分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
2.命题：“，则”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知定义域为的函数在上单调递减，函数是偶函数，若，，，为自然对数的底数，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.某校举行知识竞赛，对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是( )
A. 图中的值为 B. 得分在的人数为
C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的平均数的估计值为
6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若为坐标原点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若关于的方程恰有个实根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设是虚数单位，复数，则对应的点位于第______象限．
11.二项式的展开式中，项的系数为______．
12.甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格
的概率都是，且三人面试是否合格互不影响则至少一人签约的概率______．
13.在杭州亚运会比赛中，名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有______种用数字作答
14.已知，则的最小值为
15.已知三角形的外接圆半径为，外接圆圆心为，且点满足，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，求的值；
Ⅲ若，，求的值．
17.本小题分
如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面．
Ⅰ若是的中点，证明：；
Ⅱ求二面角的正弦值．
Ⅲ在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
设椭圆：的左、右顶点分别为，，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为．
求椭圆的方程；
若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点．
19.本小题分
已知数列是首项为的等差数列，数列是公比不为的等比数列，且满足，，．
求数列，的通项公式；
求；
令，记数列的前项和为，求证：对任意的，都有．
20.本小题分
已知函数．
令，讨论的单调性并求极值；
令，若有两个零点；
求的取值范围；
若方程有两个实根，，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.二
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ中，，
由正弦定理得；
又，
所以，
所以；
又，所以，
所以；
又，
所以；
Ⅱ若，，
所以，
所以，
，
所以
；
Ⅲ若，，
由，得，
所以；
所以，
解得．
17.Ⅰ证明：平面平面 ，平面 平面 ，四边形 是矩形．
平面，平面，
若是 的中点，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，，
则，，，
，
，，
，
，．
Ⅱ解：由Ⅰ可知：，
设平面的法向量为，
由，取，
平面的一个法向量为，
取，设平面的法向量为，
则，取，则，
，，
所以二面角的正弦值为．
Ⅲ解：假设存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，
直线与平面的法向量所成角的余弦值为，
设，则，
，
，解得，舍去，
在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
该点的坐标为．
18.解：由题意可得，解得，
故椭圆的方程为：；
解法一：设直线的方程为且，
直线的方程为且，
易知直线与轴的交点为，易知直线的方程为，
所以直线与直线的交点为，
将代入方程，得，
所以点的横坐标为，则点的横坐标为，
将点的坐标代入直线的方程，整理得，
即，因为，所以，
由，点坐标可得直线的方程为：
，
所以直线过定点．
解法二：易知直线的方程为，设点，直线的方程，
联立，可得，
由，，三点共线，易得，
直线的斜率，
由，可得，代入上式可得：，
可得直线的方程：
，
所以直线过定点．
19.解：设数列的公差为，
因为数列是等比数列，
所以，
所以，
所以，解得或，
当时，数列，均是常数列，与数列的公比不为相矛盾，
所以，
所以，
所以，，
所以数列的公比为，
所以．
解：，
设，，
则，
两式相减得，，
所以，
同理可得，，
所以．
证明：，
所以，
因为，所以随着的增大而增大，
所以，
所以，得证．
20.解：因为，
所以，，，
，，的变化如下：
负 正
单调递减 极小值 单调递增
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
极小值为，无极大值；
，
，
当时，，单调递增，不可能有两个零点，
当时，令，得，单调递减，
令，得，单调递增，
所以，
要使有两个零点，即使，得，
又因为，所以在存在唯一一个零点，
且，，
所以在上存在唯一一个零点，符合题意；
综上，当时，函数有两个零点；
法二：有两个零点，
等价于时，有两个实根，
令，则，
当时，，单调递减，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，，，，
要使有两个实数根，即使，
综上，当时，函数有两个零点．
证明：有两个实根，
令，有两个零点，，，，
所以
所以，
要证，只需证，
即证，所以只需证．
由可得，
只需证，设，令，则，
所以只需证，即证，
令，，则，
即当时，成立，
所以，即，即．
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