2025年西南名校联盟高考数学诊断试卷（一）（含答案）

2025年西南名校联盟高考数学诊断试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为( )
A. B. C. D.
2.下列四个条件中，使成立的充要条件是( )
A. B. C. D.
3.在的二项展开式中，第项的二项式系数是( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线与直线互相垂直，则为( )
A. B. 或 C. D. 或
6.已知圆锥的母线长度为，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若有两个极值点，，且恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，可以作为基底，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若与的夹角为，则或
10.已知幂函数，则( )
A.
B. 的定义域为
C. 为非奇非偶函数
D. 不等式的解集为
11.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是( )
A. 的第项小于 B.
C. 为等比数列 D. 中存在大于的数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线：，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______．
13.已知，函数有最小值，则 ______．
14.已知甲袋中装有个红球，个白球，乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致现从两袋中各随机取出一个球，若个球同色，则将取出的个球全部放入甲袋中，若个球不同色，则将取出的个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线：，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点．
求抛物线的方程；
求的值．
16.本小题分
如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数，的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．
求，的值和，两点间的距离；
若，求折线段赛道的长度．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点，满足，，点为棱上的动点含端点．
当与重合时，证明：平面平面；
是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
函数．
求在点处的切线方程；
若存在，使得成立，求的取值范围．
19.本小题分
为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为个升．
经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出个的概率；结果保留位小数
在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，，，，，经计算，当时，若随机变量的概率分布密度函数为，，，，，称服从参数为的泊松分布，记作其中，为自然对数底数
若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出个的概率结果保留位小数，并证明：；
改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数升
升数
若每升水中含有的大肠杆菌个数仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：指数函数的幂级数展开式为，，，，，，，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：点在抛物线：上，
，，
抛物线的方程为；
根据题意可知当直线与抛物线相切于点或过平行于抛物线的对称轴时满足题意，
又对两边关于求导可得，
，
所求，或，
的值为或．
16.解；依题意知，，，所以，
所以，当时，．
所以，
又，所以，
即之间的距离为．
在中，，，
由余弦定理得，，
即，
解得，所以，
所以，
即折线段的长为．
17.证明：连接，，
在菱形中，，所以是正三角形，
因为是的中点，所以，
又，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故当与重合时，平面平面．
解：取的中点，连接，，则，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
由，知，
设存在点满足题意，且，，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，解得，
所以，即．
18.解：因为，所以，
所以又，
所以在点处的切线方程为．
因为存在，使得成立，所以．
由知，
令，，
，
因为在上单调递增，，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当单调递增，
，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当单调递增，
，，所以，故．
19.解：由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，
则，
故一升水中大肠杆菌个数不超出个的概率约为；
证明：因为，，
所以，
，
，
，
；
因为
则出现上述情况的概率为：
，
令，取对数得，
令，则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
因为，所以，
则，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为．
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