黑龙江省哈尔滨第九中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨第九中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1.若 = ，则 是( )
3
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

2.sin( + ) + cos( + ) =( )
2
A. 1 B. 1 C. 0 D.
3.下列函数中，最小正周期为 的偶函数是( )
A. = B. = C. = D. = | |
4.设 = 20.1， = log20.1， = 0.1，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >

5.要得到函数 = sin(2 + )的图象，只要将函数 = 2 的图象( )
4

A. 向左平移 单位 B. 向右平移 单位 C. 向右平移 单位 D. 向左平移 单位
4 4 8 8
1 11
6.已知 ， 都是锐角， = ，cos( + ) = ，则 =( )
7 14
√ 3 1 √ 2 1
A. B. C. D.
3 3 2 2
7.函数 = ( 2 )(2 2 )的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
1
8.已知 ， ∈ +，对于 ∈ ，( 1)( + 1 2 ) ≥ 0恒成立，则 + 的最小值为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
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A. 与 终边相同的角的集合是{ | = + 2 , ∈ }
3 3
3 1
B. sin + cos + tan =
6 2 4 2
C. 若 > 0，则 为第一象限角
2 4
D. 扇形的半径为2，圆心角弧度数为 ，则扇形面积为
3 3

10.已知函数 ( ) = tan(2 )，则( )
6
√ 3
A. (0) =
3
B. ( )的最小正周期为

C. ( )的对称中心为( + , 0), ∈
12 4

D. ( )在( , )单调递增
6 3
+
11.函数 ( ) = , ( ) = 在工程数学中称为正余弦双曲函数，因为它们的某些性质和正余弦函
2 2
数类似而得名，则下列说法正确的是( )
A. ( )是奇函数，增函数 B. ( )是偶函数，最小值为2
C. (2 ) = 2 ( ) ( ) D. ( + ) = ( ) ( ) ( ) ( )
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
1
12.已知 + = ，则 =______．
5
10° √ 1+ 20°
13. 的值为______．
√ 2 70
14.定义在 上的奇函数 ( )，满足 ( + 2) = ( )，当0 ≤ ≤ 1时， ( ) = 2，则 (2025) = ______，
若方程 ( ) = log ( + 1)在[0,+∞)上有且只有3个不同的根，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log2(1 + ) log2(1 )．
(1)求函数的定义域；
(2)证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性(不需证明)；
(3)若 (1 + ) + (2 + 1) < 0，求 取值范围．
16.(本小题12分)
3
在平面直角坐标系 中，已知锐角 的终边与单位圆的交点为 ( , )．
5
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(1)求 的值及 ；
(2)求 2 ， 2 ；

(3)已知 = 2, ∈ (0, )，求2 ．
2
17.(本小题12分)

函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示．
2
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间；
(3)求不等式 ( ) ≥ 1的解集．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 2 .
(1)求函数 ( )的对称轴及对称中心；

(2)若方程 ( ) = 在[ , ]上有两个解，求 的范围；
8 2
(3)将函数 ( )的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线 ，再将 上的各点横坐标变为原来的2倍(纵坐标

不变)，得到函数 ( )的图象.若 ∈ [ , ], ∈ [ 1,0]，不等式 2 2 + 2 ≥ ( )成立，求实数 的
2 2
取值范围．
19.(本小题12分)
“凸凹性”是函数的重要性质.若函数 ( )的图像在定义域区间[ , ]上连续不断，且对任意 1， 2 ∈ [ , ]，
+ ( )+ ( ) + ( )+ ( )
恒有 ( 1 2) ≥ 1 2 ，则称函数 ( )是区间[ , ]上的上凸函数；若恒有 ( 1 2) ≤ 1 2 ，则称
2 2 2 2
函数 ( )是区间[ , ]上的下凸函数(也称凹函数).将上述定义进行推广，即若 ( )是上凸函数，则对任意 1，
+ + + ( )+ ( )+ (
， ∈ [ , ]恒有 ( 1 2 ) ≥ 1 2
)
2 ，若 ( )是下凸函数，则对任意 1， 2 ， ∈ [ , ]
1+ 2+ + ( 1)+ ( )+ ( 恒有 ( ) ≤ 2
)
，当且仅当 1 = 2 = = 时等号成立，这个不等式即为著名的
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琴生不等式．
(1)判断 ( ) = 2是上凸还是下凸函数？(直接写出结论即可)；
(2)判断 ( ) = 在[0, ]上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论；
6
(3)已知锐角 ， ， 满足 + + = ，求 的最大值．
sin sin +sin sin +sin sin
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12
12.【答案】
25
1
13.【答案】
2
1 1
14.【答案】1 ( , ) ∪ (2,6)
8 4
1 + > 0
15.【答案】解：(1)由题意可得，{ ，解得 1 < < 1，
1 > 0
故 ( )定义域为( 1,1)；
(2) ( ) = log2(1 ) log2(1 + ) = ( )，故 ( )为奇函数，
由于 = log2(1 + )为单调递增， = log2(1 )为单调递减，故 ( ) = log2(1 + ) log2(1 )为单调
递增函数，
(3)由 (1 + ) + (2 + 1) < 0可得 (1 + ) < (2 + 1) = ( 2 1)，
由于 ( )为定义域内的单调递增函数，
2
故 1 < 1 + < 2 1 < 1，解得 1 < < ，
3
2
故 的范围为( 1, )．
3
3
16.【答案】解：(1)因为锐角 的终边与单位圆的交点为 ( , )， > 0，
5
3 4
所以 = ， = √ 1 sin2 = ，
5 5
4 3
所以 = = ， = = ．
5 cos 4
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3 4 24 16 9 7
(2) 2 = 2 = 2 × × = ， 2 = cos2 sin2 = = ．
5 5 25 25 25 25
(3)因为 = 2，
2 4 4
所以 2 =
1 tan2
= = ，
1 4 3

因为2 ∈ (0, )， ∈ (0, )，
2

所以 ∈ ( , 0)，2 ∈ ( , )，
2 2
4 3
又因为1 + 2 = 1 + ( ) × = 0，
3 4
2
所以tan(2 ) = 没有意义，
1+ 2 tan

又2 ∈ ( , )，
2

所以2 = ．
2
17.【答案】解：(1)由图知 ( ) = 2， ( ) = 2，∴ = 2，
3 11 3 2
∵ = = = ，∴ = ， = = 2，
4 12 6 4
∴ ( ) = 2 (2 + )，

又∵ = 时， ( ) = 2，
6

∴ 2 (2 × + ) = 2，即sin( + ) = 1，
6 3

∴ + = + 2 , ∈ ，
3 2

解得 = + 2 , ∈ ，
6

∵ | | < ，∴ = 0, = ，
2 6

∴ ( ) = 2 (2 + )．
6

(2) ∵ ( ) = 2 (2 + )，
6
2 2
∴ = = = ，
2

单调递增区间满足 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 6 2
2
即 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，
3 3

即 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
3 6
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∴单调递增区间为[ + , + ]， ∈ ．
3 6
(3) ∵ ( ) ≥ 1，
1
∴ 2 (2 + ) ≥ 1，即sin(2 + ) ≥ ，
6 6 2
5
∴ + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
6 6 6
2
即2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，
3

∴ ≤ ≤ + ， ∈ ，
3

∴不等式的解集为[ , + ], ∈ ．
3

18.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2 + 2 2 = 2 + 1 + 2 = √ 2sin(2 + ) + 1，
4

对称轴方程满足2 + = + 2 , ∈ ，解得 = + , ∈ ，
4 2 8

对称中心横坐标满足：2 + = , ∈ ，解得 = + , ∈ ，
4 8 2

所以对称中心为( + , 0), ∈ ；
8 2
5
(2)因为 ∈ [ , ]，所以2 + ∈ [0, ]，
8 2 4 4

因为 ( ) = √ 2sin(2 + ) + 1，
4

当0 ≤ 2 + ≤ ，即 ≤ ≤ 时， ( )单调递增，
4 2 8 8
5
当 ≤ 2 + ≤ ，即 ≤ ≤ ， ( )单调递减，
2 4 4 8 2

当2 + = 0或 时， ( ) = √ 2 0 + 1 = 1，
4

当2 + = 时， ( ) = √ 2sin + 1 = √ 2 + 1，
4 2 2

所以方程 ( ) = 在[ , ]上有两个解，
8 2
所以 ∈ [1, √ 2 + 1)；
(3)因为函数 ( )的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线 ，
再将 上的各点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 ( )的图象，

所以 ( ) = √ 2sin( + )，
4

因为 ∈ [ , ], ∈ [ 1,0]，不等式 2 2 + 2 ≥ ( )成立，
2 2
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所以 2 2 + 2 ≥ ( ) ，
3
因为 ∈ [ , ]，所以 + ∈ [ , ]，
2 2 4 4 4

当 + = ，即 = 时， ( ) = 1， 4 4 2
当 ∈ [ 1,0]时，令 ( ) = 2 2 + 2 = ( 2 2 ) + 2，
( 1) ≥ 1 2
所以{ ，即{ + 2 + 2 ≥ 1，即 1 ≤ ≤ 3，
(0) ≥ 1 2 ≥ 1
所以实数 的取值范围[ 1,3]．
19.【答案】解：(1) ( ) = 2是下凸函数．
(2) ( ) = 在[0, ]上是上凸函数，证明如下：
1， 2 ∈ [0, ]， 1 ≤ 2，
1+ 2 ( 1)+ ( 2) 1+ 2 1+ 2
( ) = sin
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
= sin cos + cos sin sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2

= (sin 2

sin 1)(cos 1 cos 2)，
2 2 2 2
1 显然，0 ≤ ≤ 2 ≤ ，则sin 2 ≥ sin 1 , cos 1 ≥ cos 2，
2 2 2 2 2 2 2
1+ 2 ( 1)+ ( )因此 ( ) ≥ 2 ，
2 2
函数 ( ) = 在[0, ]上是上凸函数．
(3)由(2)知， ( ) = 在[0, ]上是上凸函数，
+ + + + √ 3
根据琴生不等式： ≤ sin = ，
3 3 2
6 6
= 1 1 1 sin sin +sin sin +sin sin + +
sin sin sin
6( + + )
= 1 1 1
( + + )( + + )
sin sin sin
6( + + )
=
+ + + + + +3
sin sin sin sin sin sin
3√ 3
6×
≤ 2 = √ 3，
2+2+2+3

当且仅当 = = 即 = = = 时取到最大值√ 3．
3
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