2025年北京密云高一（上）期末数学（PDF版，无答案）

2025北京密云高一（上）期末
数 学
2025.1
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项．
（1）已知集合 A = x 1 x 2 ， B = 0,1,2,3 ，则 A B =
(A) 1,0,1 (B) 1,0,1,2 (C) 0,1,2 (D) 1,2,3
（2）命题“ x R, x2 + 2 0”的否定是
(A) x R, x2 + 2 0 (B) x , x2R + 2 0
(C) x , x2R + 2 0 (D) x 2R, x + 2 0
（3）一元二次不等式 x2 2x 3 0的解集是
(A) x x 1,或x 3 (B) x 1 x 3
(C) x x 1,或x 3 (D) x 1 x 3
（4）设 a,b,c R ，且 a b c ,则
1 1 a + b b a
(A) ac bc (B) (C) ab (D)
a b 2 a b
3
（5）已知函数 f (x) = x ，在下列区间中，包含 f (x) 零点的区间是
x
(A)(0, 1) (B)(1, 2) (C)(2,3) (D)(3, + )
（6）“△ABC 是等腰三角形”是“△ABC 是等边三角形”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

（7）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 以 Ox 为始边，终边经过点 3 1 , ，则 sin(π + α) =
2 2
1 1 3 3
(A) (B) (C) (D)
2 2 2 2
（8）如图，△OAB 是边长为 2 的正三角形，记△OAB 位于直线 x = t(t 0)左侧的图形的面积为 f (t) ，则下
列正确的命题是
(A)函数 f (t) 的定义域是(0, 2]
(B)函数 f (t) 是增函数
(C)当 t =1时， f (t) 有最大值
(D)函数 f (t) 的最大值是 3
（9）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过
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程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是 1%，记一年后学习的“进步
值”为 (1+1%)365 ，每天学习的“退步率”都是 1%，记一年后学习的“退步值”为 (1 1%)365 ，则一年
后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的 1481 倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的 4
倍，则至少需要经过的天数约为
参考数据：lg101≈2.0043，lg,99≈1.9956，lg,2≈0.3010．
(A)50 (B)60 (C)70 (D)80
log2 x , x 0,
（10）已知函数 f (x) = 函数 g(x) = f (x) + m 2 ．若 g(x) 有四个不同的零点 x1, x2, x3, x4，则
4x
2 4x, x 0,
x1, x2, x3, x4的取值范围为
3 3
(A) 1， (B)(1,2) (C) ，2 (D)(2, + )
2 2
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分．
（11）已知扇形的圆心角是 1 弧度，半径为 2，则扇形的弧长为_______，面积为_______．
1

1
（ ）计算：
2
12 =_______； lg5 + lg 2 + log3 9 = _______．（用数字作答）
4
（13）函数 f (x) = tan x 的定义域是_______；最小正周期是_______．
4
（14）已知函数 f (x) = x + (x 2) ，则 f (x) 的最小值等于_______．
x 1
（15）如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条 S 形曲线将圆形
图案分为两部分，体现了数学的“对称美”．已知 O 为坐标原点，若函
数 f (x) 的图象将圆 O 的圆周二等分，并且将这个圆及其内部分成面积
相等的两部分，则记 f (x) 为圆 O 的一个“太极函数”．给出下列四个结论：
①对于圆 O，它的“太极函数”有无数个；
2 x x, x 0,
②函数 f (x) = 是圆 O 的一个“太极函数”；
2
x + x, x 0,
③函数 f (x) = x3 3x 是圆 O 的一个“太极函数”；
④函数 f (x) = ln( x2 +1 + x)是圆 O 的一个“太极函数”．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题：本大题共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）（本小题满分 14 分）
已知集合 A = x 0 x 7 ， B = x m +1 x m + 3, m R ．
（Ｉ）求集合 AR ；
（Ⅱ）当m = 5 时，求 A B ；
（Ⅲ）若 A B = B，写出一个符合条件的 m 的值．
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（17）（本小题满分 15 分）
4 π
已知 cosα= ，α , π .
5 2
π
（Ｉ）求 sin α+ 的值；
6
（Ⅱ）求 cos 2α的值；
（Ⅲ）将 α 的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角 β 的终边，求 tan β 的值．
（18）（本小题满分 14 分）
π
已知函数 f (x) = sin 2x ．
6
（Ｉ）求 f (x) 的单调递增区间；
π π
（Ⅱ）求 f (x) 在区间 , 上的最大值和最小值．
4 4
（19）（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) = 2x2 4x + 3．
（Ｉ）解关于 x 的不等式： f (x) + 2bx 3 0 ；
（Ⅱ）当 x [ 1,1]时， f (x) 2x + 2m +1恒成立，试确定实数 m 的取值范围．
（20）（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) = ex + ae x ．
（Ｉ）当 a =1时，证明： f (x) 为偶函数；
（Ⅱ）当 a = 1时，直接写出 f (x) 的单调性，并解不等式 f (2x 1) e2 e 2 ；
（Ⅲ）当 a 0 时，是否存在实数 a，使得 f (x) 的最小值为 4，若存在，求出 a 的值，若不存在，请说
明理由．
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已知集合 A 包含有 n(n *N ) 个元素， = x + y x, y A ．
（Ｉ）若 *A = 0,1, 2 ，写出 A ；
（Ⅱ）写出一个 A* ，使得 A = A*；
（Ⅲ）当 n = 4 时，是否存在集合 A，使得 A* = 2, 3, 5, 6, 7, 8,10 ？若存在，求出此时的集合 A，若不
存在，请说明理由．
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