专题六：全等三角形常见题型 寒假提高练 2024--2025学年初中数学人教版八年级上册

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专题六：全等三角形常见题型 寒假提高练
2024--2025学年初中数学人教版八年级上册
1．如图，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，点E在AB边上．
（1）求证：△ACE≌△BCF；
（2）若∠BFE=60°，求∠AEC的度数．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．
3．如图，D是的外角平分线上的一点，．
(1)求证：；
(2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数．
4．如图所示，已知分别是的高和中线，，．
试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
5．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，连接，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
6．如图，，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由．
7．如图，，F是的中点，连接并延长交于点G．

(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)写出线段与的位置关系，并证明．
8．已知四边形中，，点在边上，连接，．
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若为中点，求证：平分．
9．已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．

10．如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
11．（1）如图（1），已知：在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中a为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
12．如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．

(1)连接交于点，设．
①当时，如图1，则______．
②当时，如图2，若，求的长．
(2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：．
13．【探究】如图①，在中，，一直线过顶点C，过A、B分别作其垂线，垂足分别为D、E，点D、E在外．

求证：．
【应用】如图②，若改变直线的位置，点D在内部，其余条件与【探究】相同．
（1）直接写出之间的数量关系．
（2）若，则的面积为______．
14．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且．
(1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长．
15．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.
【问题提出】
（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______．
【问题探究】
（2）①巧翻折，造全等
如图②，在中，是的角平分线，请说明．
小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答；
②构距离，造全等
如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离；
【问题解决】
（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由．
16．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC
参考答案：
1．（1）见解析；（2）105°
证明：（1）∵△ABC和△EFC都是等腰直角三角形
∴CA=CB ，CE=CF
∵∠ACB=∠ECF=90°
∴∠ACE+∠ECB=∠ECB+∠BCF
∴∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF（SAS）
（2）∵△EFC是等腰直角三角形
∴∠EFC=45°
∵∠BFE=60°
∴∠BFC=∠EFC +∠BFE=45°+ 60°= 105°
又∵△ACE≌△BCF
∴∠AEC=∠BFC=105°
2．见解析
证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，
∵CD＝BD，
∴BG＝BD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB＝∠FDB，
∴∠ADC＝∠BDF．
3．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如下图，过点作于点，作于点，
∴，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，即，
∴，
∴.
4．(1)
(2)
(3)
（1）解：，是边上的高，
，
，
即的长度为；
（2）解：如图，是直角三角形，，，，
．
又是边的中线，
．
的面积是．
（3）解：为边上的中线，
，
的周长的周长，
即和的周长的差是．
5．(1)见解析
(2)5
（1）证明：∵，
∴，
又∵是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∴的长为5．
6．(1)见解
(2)，理由见解析
（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，理由如下：
，
，．
，
．
7．(1)，见解析
(2)，见解析
（1）证明：延长至H，使，连接．

∵F是的中点，
∴．
在和中，
∴．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）．
证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
8．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：如图1，过点作于，
则，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点作于，
则，
在和中，
，
，
，
为中点，
，
，
在和中，
，
，
，
平分．
9．见详解
证明：在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
．
10．(1)见详解
(2)84
（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
11．（1）见解析（2）成立，见解析
（1）证明：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：成立，证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即．
12．(1)①；②
(2)见解析
（1）解：①∵，，，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：
②过点作于，如图所示：

∵，，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
（2）解：在上截取，连，如图所示：

∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
13．探究：证明见解析；应用：（1）；（2）
解：探究：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
应用：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．(1)见解析
(2)16
（1）解：证明：在上截取，使得，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为16．
15．（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析
解：（1）证明：

根据作图可得，
又，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（2）①在上截取．连接DE，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴．
∴；
②如图：过点作，垂足为点，
和的平分线，交于点，
，即，
，即点到的距离是；
（3），理由如下：
，
，
，是的两条角平分线，且，交于点．
，
；
在上截取，连接，则，
，，
∵，
，
，
，
又，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
16．见解析
解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，
在△APN和△APC中
∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，
∴△APN≌△APC，
∴PC=PN，
∵△BPN中有PB－PN＜BN，
即PB－PC＜AB－AC；
补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，
在△ABP和△AMP中，
∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，
∴△ABP≌△AMP，
∴PB=PM，
又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，
即AB－AC＞PB－PC．
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