专题三：解答题 寒假提高练 2024--2025学年初中数学人教版八年级上册

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专题三：解答题 寒假提高练
2024--2025学年初中数学人教版八年级上册
1．已知，，.
(1)求证：；
(2)求的值.
2．已知，，是的三边长．
(1)若 ，，为偶数，求的长；
(2)化简∶．
3．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
4．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
5．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
6．计算：
(1)；
(2)．
7．解下列方程：
(1)；
(2)．
8．已知关于x的方程．
(1)为何值时，这个方程的解是？
(2)为何值时，这个方程有增根？
9．已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值．
10．如图，中，平分，且，于E．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
11．如图，在中，点是上一点，，过点作，且，连接，．

(1)求证：；
(2)若是的中点，的面积是20，求的面积．
12．如图，点E在的中线的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若，求证：是直角三角形．
13．如图，已知，，．
(1)画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标；
(2)P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标．
14．如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．
（1）求△AED的周长；
（2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数．
15．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点．
(1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数；
(2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
16．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，．
(1)求点P到的距离；
(2)如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，为x轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与y轴，线段分别交于点F，G，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长．
17．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式，如图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：
_______＝_______；
(2)如果图中的、满足，，求的值；
(3)已知，求．
18．某绿色食品有限公司准备购进A和B两种蔬菜，B种蔬菜每吨的进价比A中蔬菜每吨的进价多0.5万元，经计算用4.5万元购进的A种蔬菜的吨数与用6万元购进的B种蔬菜的吨数相同，请解答下列问题：
(1)求A，B两种蔬菜每吨的进价；
(2)该公司计划用14万元同时购进A，B两种蔬菜，若A种蔬菜以每吨2万元的价格出售，B种蔬菜以每吨3万元的价格出售，且全部售出，请求出所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，要求A种蔬菜的吨数不低于B种蔬菜的吨数，若公司欲将（2）中的最大利润全部用于购买甲、乙两种型号的电脑赠给某中学，甲种电脑每台2100元，乙种电脑每台2700元，请直接写出有几种购买电脑的方案．
19．阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的．
【问题解决】已知，求下列代数式的值．
(1)求的值．
(2)求的值．
20．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
（1）证明：，
.
即.
（2）解：．
2．(1)
(2)
（1）解：，
为偶数
（2），
，
3．(1)
(2)
（1）解：，，
；
（2）解：，，
．
．
4．(1)，5
(2)，
（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当，时，原式．
5．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
；
（3）解：原式
，
；
（4）解：原式
，
．
6．(1)
(2)
（1）
（2）
7．(1)无解
(2)
（1）解：
去分母，得，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程无解；
（2）
去分母，得，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
8．(1)
(2)或
（1）解：∵方程的解是，
，
解得：．
（2）解：方程两边都乘以得
，
整理得：，
方程有增根，
，
解得：或，
当时，
，
当时，
，
m的值为或．
9．(1)n的值为12；
(2)n的值为5．
（1）解：依题意，得，
解得，即n的值为12；
（2）解：∵正多边形的一个内角为，
∴这个正多边形的外角为．
∵多边形的外角和为，
∴，即n的值为5．
10．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图所示，过点D作交延长线于F，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴
（2）解：∵平分，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
11．(1)见解析
(2)
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
．
是的中点，
．
12．(1)见解析
(2)
(3)见解析
（1）解：证明：是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2），，
，
即．
，
的取值范围是．
（3）∵，，，
∴，
∴，，
又，
∴，
即是直角三角形．
13．(1)见解析，，
(2)见解析，
（1）解：如图所示，，；
（2）解：如图，点P即是所求作的点，．
14．（1）7cm；（2）65°
解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）；
（2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB，
∵∠DEB＝∠A＋∠ADE，
∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°，
∴∠BDE＝∠CDB＝＝65°．
15．(1)，图见解析；
(2)，理由见解析，图见解析．
（1）解：补全图形见图：
∵点与点重合， ，
∴，
在中， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：补全图形如图：
，理由如下：
如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在等腰中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．(1)1
(2)为等腰直角三角形，详见解析
(3)的周长不变，为4，详见解析
（1）解：过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，如图
，，，
，，，
，
，
，
∵,
∴，
∴
．
（2）解：如图．延长交y轴于点R，作于S，于T，
点C是垂直平分线上的点，
，
，
，
，
，
到，，的距离均为1，
，，分别平分，，，
，
，
于S，于T，平分，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，且．
（3）解：的周长不变，为4，理由如下：
过点P分别作垂线，，，，连，．
将沿所在直线翻折，
，
，
，，
，，
的周长为，
，，
，
的周长为4．
17．(1)；
(2)
(3)
（1）解：该图形总面积整体计算可得，部分求和可得；
故答案为：；
（2）由（1）题结果可得，
当，时，
，
．
（3），，
，则，
，，，
，
，
．
18．(1)每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元
(2)
(3)有三种购买方案
（1）解：设每吨A种蔬菜的进价为x万元，则每吨B种蔬菜的进价为万元，
依题意得：，
解得，
经检验：是原方程的解，
∴．
答：每吨A种蔬菜的进价为1.5万元，每吨B种蔬菜的进价为2万元；
（2）解：根据题意得，，
∴所获利润W（万元）与购买A种蔬菜的资金a（万元）之间的函数关系式为：
；
（3）解：当时，，
∵在一次函数中，W随着a的增大而减小，
∴当时，W有最大值，W的最大值为（万元）．
设购买甲种电脑a台，购买乙种电脑b台，则
，∵a和b均为整数，
∴或或，
∴有三种购买方案．
19．(1)2
(2)
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
20．(1)①；②；③；④
(2)
(3)
（1）解：当，时，分式方程为，，
∵，
∴①不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得：，
，
②不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得，
，
③是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
此方程无解，
④是关于的分式方程的“关联数对”；
故答案为：①；②；③；④．
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，
解得：，
，
解得；
（3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
∵可化为，
∴，
解得：，
方程有整数解，
整数，即，
又，，
．
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