2025年高考数学考点剖析精创专题卷十-复数（含解析）

2025高考数学考点剖析精创专题卷十-复数
一、选择题
1．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．设复数z满足,则( )
A. B. C. D.
3．已知复数z满足,则复数z的虚部为( )
A. B. C. D.
4．已知复数z满足(i是虚数单位）,则( )
A. B. C. D.
5．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
6．若复数z满足，则( )
A.1 B. C.3 D.5
7．在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．设，则( )
A.10 B.9 C. D.
二、多项选择题
9．复数z满足，则( )
A.z为纯虚数 B.
C.z的实部不存在 D.复数在复平面内对应的点在第二象限
10．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B.复数的虚部为
C.若复数z为纯虚数，则 D.
11．已知复数（，i为虚数单位），且，则( )
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为，且，则z是实数
C.若，则z是实数
D.可以等于
三、填空题
12．已知复数z满足，则__________.
13．若复数z同时满足，，则___________.（i是虚数单位）
14．已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为_________.
四、解答题
15．已知复数，，其中.
（1）若，求a的值；
（2）若是纯虚数，求a的值.
16．已知，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，.
（1）若，求，；
（2）若，为实数，求a，b的值.
17．在复平面内复数,所对应的点为,,O为坐标原点,i是虚数单位.
(1),,计算与；
(2)设,,求证：,并指出向量,满足什么条件时该不等式取等号.
18．已知复数z满足，且z在复平面内对应的点位于第三象限.
（1）求复数z；
（2）若，求实数m的值.
19．定义两个复数和之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）设，请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.
参考答案与详细解析
一、选择题
1．答案：D
解析：因为，
所以该复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D
2．答案：C
解析：因为,
所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：,故z的虚部为.故选：A.
4．答案：A
解析：设,所以,
所以,所以.
故选A.
5．答案：D
解析：，，
，，
，
z的共轭复数的虚部为，
故选：D.
6．答案：A
解析：解法一：由，得，
所以，
解法二：由，得，
所以.
故选：A
7．答案：D
解析：，
其在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选D
8．答案：A
解析：方法一：，所以.故选A.
方法二：，所.故选A.
二、多项选择题
9．答案：AB
解析：由，
解得或，
故z为纯虚数.
，z的实部为0，
则复数在复平面内对应的点在第二象限或第三象限.
故选：AB.
10．答案：AD
解析：因为，A正确；
复数的虚部为，B不正确；
若，则，，C不正确；
设，，所以，
，D正确.
故选：AD.
11．答案：BC
解析：当，时，为纯虚数，故A错误；若，则，因此，故B正确；由是实数且，知z是实数，故C正确；若，则，又，因此，，无解，即不可以等于，故D错误.故选BC.
三、填空题
12．答案：
解析：由已知，得，因此.
13．答案：
解析：设，
由，
所以，
又，
所以，
所以
所以，
故答案为：.
14．答案：2
解析：解法一：设且，则，因为，所以，得，所以.
解法二：由得，解得，依题意得，解得.
四、解答题
15．答案：（1）2
（2）或
解析：（1），，，
，
解得，的值为2.
（2）依题意得，
，
是纯虚数，解得或.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1），，，，.又，，.
（2）由（1）得，.
，为实数，
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)根据,可得,；
且,,所以.
(2)因为,
所以,可得；
因为,,所以,,
因此,
所以,当且仅当时取等号,此时向量,满足.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设（，），
则，
，解得或（舍去），
.
（2）由（1）知，
.
又，，.
19．答案：（1）证明见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：左边
，
右边
，
左边=右边，证毕.
（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量z的方程的解.
设，则，
即.
当，时，解得，.
所以，故当，时，