2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期1月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆，则椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
3.从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
4.“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.在平行六面体中，，，，，，则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点为直线上一点，点为圆上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆的半径，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是( )
A. B. ，，三点共线
C. D. 在上的投影向量为
10.已知圆，圆，则下列说法正确的是( )
A. 圆，恒有公共点
B. 圆，至多有三条公切线
C. 若圆平分圆的周长，则
D. 若圆平分圆的周长，则的最小值为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，，为上关于原点对称的两点与的顶点不重合，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的方程为 B.
C. 直线与的斜率乘积为 D. 的面积随周长变大而变大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线的倾斜角为
13.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面若，则直线与平面所成的角的大小为
14.设，是平面直角坐标系上的两点，为坐标原点，定义点到点的一种折线距离已知，是曲线上一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知
求角的大小
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知定义在上的函数是偶函数．
求的值
当时，函数的最小值为，求的值．
17.本小题分
在三棱锥中，平面，，，．
求证：平面平面
若二面角的余弦值为，求的长度．
18.本小题分
已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点．
求抛物线的方程
若，求的值
若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围．
19.本小题分
世纪年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于，两点，线段的中点为，直线的斜率为．
求曲线的方程
求的取值范围
求证：．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，
所以，
所以，
整理得，
因为，所以，因此，
所以，所以
由的面积为，
得，解得，
又，则，，
由余弦定理得，
解得，，
所以的周长为．
16.解：
是偶函数，，
即，即，；
由可知，，
，
令，由，可得，
上述函数转化为，
当时，在上单调递增，
当时，，，满足题意；
当时，在上单调递减，
当时，，不合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，显然不合题意，
综上所述：．
17.【解答】
证明：在中，，，，
，可得，，，
平面，平面，，，，平面，平面，
平面，平面平面；
解：以，所在的直线为，轴，为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，设，则，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，则即，令，可得，
同理即，令，可得，
显然二面角的平面角为锐角，记为，，即，
或舍去，故．
18.解：由题意，，抛物线的方程为；
由题意：，
整理得，， ，，
，整理可得，
，；
设，， 若，则，易得此时不合题意
若，由于，关于直线对称，故，可得，
中点的纵坐标为，
将其代入中，可得，
又，化简可得，
，且，
化简可得，要使得上述关于的方程有实根，
当时不合题意，
则，故，或．
19.解：由题意，
整理可得，
曲线的方程为；
，
由曲线的方程可知，
，即，
解得，，
，
的取值范围为；
设，，，
由题意可知
则，
，
由题意可知，
，
由题意，，
，
由可知，，
则，，
，
，．
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