2024-2025学年浙江省衢州市高二上学期1月教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省衢州市高二上学期1月教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，，，则
A. B. C. D.
3.已知抛物线：，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知方向向量为的直线倾斜角为，则
A. B. C. D.
5.已知圆：，直线：，则直线被圆截得的最短弦长为( )
A. B. C. D.
6.已知正项数列，满足，，则
A. B. C. D.
7.反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为
A. B. C. D.
8.纸上画有一圆，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列，都是正项等比数列，则( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列
10.已知抛物线：，过焦点的直线与抛物线交于、两点，准线与轴交于点，则下列结论正确的是
A.
B. 线段中点到准线的距离最小值为
C. 若直线的斜率为，则
D. 为直线的倾斜角
11.已知为正方体，点为棱上的动点，点为平面上的任意一点，到直线和到平面的距离相等，则下列表述正确的是
A. 存在点使得直线与平面所成的角为
B. 存在直线与平面所成的角大于二面角
C. 点所在的曲线可能为双曲线
D. 点所在的曲线可能为抛物线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若椭圆：的左右焦点为、，上顶点为，则________．
13.类似二维向量，定义维向量空间中，两点间“距离”校服公司根据经验，得出种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点．种标准型号为个标准点．按“距离”分类，学生身材点与个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高，胸围，腰围，肩宽，此人身材点应归类为________型号．
型号 身高 胸围 腰围 肩宽
14.已知双曲线：，直线是双曲线右支的一条切线，与的渐近线交于、两点，若的中点为，且三角形的面积，则双曲线离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过和，且圆心在直线上．
求圆的方程；
若圆：与圆外切，求实数的值．
16.本小题分
已知在三棱锥中，，，，，．
证明：平面平面；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知数列满足且，数列满足且．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，轴．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，当的面积为时，求直线的方程．
19.本小题分
集合，，称为集合的交错和，为集合所有子集的交错和之和．
若，求；
若，求；
若，，求集合的元素个数有多少种情况．
参考答案
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15.解：以和为端点的线段的垂直平分线为：，
又圆心在直线上，由，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：
圆，所以圆心，半径
因为圆与圆外切，所以，
所以，所以．
16.证明：取的中点为点，的中点为点，连接，，
在中，，，
在中，，，，，
，
，且、面，
面，
又面，
面面．
如图
建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
，
．
设平面的法向量，
，
，，
，，
二面角的正弦值为．
17.解：因为，所以，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
因为，
所以，
所以，又因为也适合，所以；
因为，所以
得，
所以
18.轴，，
又点在曲线上，
，
椭圆的方程为
当直线的斜率不存在时，不符合题意
设直线的方程为，，
直线方程与椭圆方程联立得，
，，得或，
，
直线所在的直线方程为：，得
直线所在的直线方程为：，得
，
或舍去
直线的方程为．
19.解：
法一：分类列举所有子集：单元素集所有交错和之和
双元素集所有交错和之和
三元素集所有交错和之和
四元素集所有交错和之和
五元素集所有交错和之和
所以为。
要使元素少，那么出现重复的数值就要多。
先考虑特殊情况，取，此时共个元素最少为
一般的，不妨设，显然，
共有个。
同理，要使元素最多，所取的数必须不小于前面两个最大数的和，如取斐波那契数列和等比数列构成集合，元素最多，．
再证元素个数能取遍到所有整数。
证明：考虑特殊情况，此时共个元素。
最大元素变化时，集合元素个数从连续取到最大
当最大数字变大时，新集合中数字与原来由形成的集合重复元素减少，
当最大值大于的最大值后就不再有重复数字，这时所有这样的比多个元素。
以此类推，比多个元素，而有个元素，则最多有个元素。
所以，对于，，元素个数能取遍到所有整数。
综上：集合元素有种情况。
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