2024-2025学年广东省东莞市高二上学期期末教学质量检查数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市高二上学期期末教学质量检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两条平行直线与间的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.已知边长为的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为( )
A. B. C. D.
6.在平行六面体中，底面是边长为的正方形，为的中心，侧棱，，则与所成角为( )
A. B. C. D.
7.已知圆与曲线恰有个公共点，则( )
A. B. C. 或 D. 或
8.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛俯视如图所示，顶上一层个球，下一层个球，再下一层个球，，现有个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为参考公式：
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程：其中为参数，下列正确的有( )
A. 若，则方程表示轴 B. 若，则方程表示圆
C. 若，则方程表示椭圆 D. 若，则方程表示双曲线
10.已知数列各项均为正数，且满足，下列正确的有( )
A. B. C. 为等比数列 D. 为递减数列
11.在棱长为的正方体中，点满足，下列正确的有( )
A. 当时，与所成角为
B. 当时，平面与平面所成角的最大值为
C. 当时，与平面所成角为
D. 当时，点到直线距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的值为 ．
13.已知两个等差数列，，，，及，，，，，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点，，若线段的垂直平分线经过点，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等比数列中，，．
求的通项公式
若为递增数列，，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆经过点，，并且圆心在轴上．
求圆的方程
记过点的直线与圆的另一个交点为点，当的面积为时，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四面体中，平面，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
证明：平面
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点．
若，求抛物线的方程
已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
求的取值范围
证明：以为直径的圆过，两点．
19.本小题分
若项数列同时满足，则称为“阶数列”．
若等比数列为“阶数列”，写出的各项
若等差数列为“阶数列”且，，求的通项公式用，，表示
记“阶数列”的前项和为，若存在，使，判断数列能否是“阶数列”若是，求出所有这样的数列若不是，请说明理由．
参考答案
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15.解：设等比数列的公比为，
由，得，有，解得，
当，故数列的通项公式为
当，故数列的通项公式为
因为为递增数列，所以，
由，
有，
可得．
16.解：方法一：因为，，则，
且的中点为，
则的垂直平分线的方程为，
因为圆心在上，令，得，即点，
又因为，
所以圆．
方法二：设圆心
因为圆经过点，，
所以，即，
解得，即点，
又因为，
所以圆．
当直线的斜率不存在时，此时的方程为：，
令，得，所以或，即，
此时，而点到的距离为，的面积为满足要求，
所以满足要求：
当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为：．
点到的距离．
圆心到直线的距离为，
所以
所以．，
化简得，解得，
所以直线的方程为：，即，
综上，直线的方程为或．
17.解：证明：方法一：取中点，连接，．
因为、分别为、中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，所以，又，所以，
又平面，平面，
所以平面，又，，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
方法二：取中点，过点作交于点，
因为，分别为，的中点，所以．
因为是的中点，所以．
又，所以，
所以，且，即四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
方法三：以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，
由，得，所以．
取平面的一个法向量为，
所以，即．
因为平面，
所以平面．
以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，，
由，得，
设平面的法向量为，
则
令，则，所以．
设平面的法向量为，
则
令，则，所以．
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：设，，联立方程
得：，
得
，
解得，所以抛物线的方程为．
依题意可知直线垂直平分线段，
所以直线的斜率为，设其方程为，
代入中消去可得到：，
设，，
所以，
故的中点在直线上，所以，
又因为在直线上，所以，
因为方程有两个相异实根，所以，解得，
故所求的取值范围是
设，，，，
方法一：，，
则
，
因为，，
所以，，
则，
又因为，即，
所以
，
所以，即以为直径的圆过点，同理可得以为直径的圆过点，
方法二：以为直径的圆为：，
即，
由，因为，得，
所以代入方程，
可化为：，
即，
由线段的中点，记以为直径的圆的圆心为，
所以，
而，
所以，
所以以为直径的圆过点，
由圆的对称性可知：以为直径的圆过点．
19.解：设，，，，，是公比为的等比数列，由题意，
则有，即，解得，
又因为，所以，解得，
所以数列的各项为，，，，，或，，，，，．
设等差数列，，，，的公差为，
，
，即，，
，若，则与矛盾，
当时，，
，即，
由，即，解得，
，
当时，同理可得，，
由，即，解得，
，
综上，当时，，
当时，．
记，，，中非负项和为，负项和为，则，，
解得，，
所以，即，
若存在，使，
可知，，，，，，，且．时，，时，，．
，
又与不能同时成立，
所以数列不为“阶数列”．
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