6.3.2平面向量基本定理及坐标表示——平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加减运算的坐标表示 课件(共32张PPT)（教学课件） 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

(共32张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标
1、借助物理学中力的分解，了解平面内向量的正交分解，并认识选互相垂直的向量作为基底便于研究问题；
2、通过平面向量基本定理，理解向量的坐标表示，并建立向量坐标与点的坐标之间的对应关系.
温故知新
平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使
基底：
若，不共线，我们把叫做表示这个平面内所有向量的一个
基底.
新知探究
给定平面内两个不共线的向量，，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可以分解为两个向量，，即，其中向量与共线，向量与共线.
新知探究
正交分解
共线的两个向量互相垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形.
O
新知探究
重力可以分解为这样的两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力.
O
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来了极大的方便.
新知探究
我们知道，在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数（即它
的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面的一个向量呢？
思考
新知探究
O
x
y
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得
新知探究
y
x
O
x
y
这样，平面内的任一向量都可以由实数x，y唯一确定，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作
其中，x叫做向量在x轴上的坐标，
y叫做向量在y轴上的坐标，
叫做向量的坐标表示.
显然，，，.
向量的坐标表示
新知探究
如图，在平面直角坐标系中，以原点O为起点作，则点A的位置由向量唯一确定.
设，则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.因为，所以终点的坐标就是向量的坐标.这样就建立了向量坐标与点的坐标之间的联系.
y
x
O
x
y
典型例题
例1：如图，分别用基底表示向量，，，，并求出他们的坐标.
由图知，，
所以，
同理，
，
，
.
新知探究
已知，，你能得出，的坐标吗？
思考
即
同理可得，
即：两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
典型例题
例2：已知，，求，的坐标.
新知探究
如图，已知，，你能得出的坐标吗？
探究
O
x
y
新知探究
O
x
y
如图，作向量，，则
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
典型例题
例3：如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，
，，求顶点的坐标．
解法一：如图，设顶点的坐标为，
因为，
，
又，
所以，
即，，
所以顶点的坐标为
典型例题
例3：如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，
，，求顶点的坐标．
解法二：如图，由向量加法的平行四边形法则可知，
，
而
，
所以顶点的坐标为.
O
新知探究
已知，你能得出的坐标吗？
思考
即，
即：实数与向量的积的坐标表示等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
新知探究
如何用坐标表示两个向量共线的条件？
探究
设 其中 共线的充要条件是：
存在实数，使
如果用坐标表示，可写成
即 ，
消去，得
新知探究
如何用坐标表示两个向量共线的条件？
探究
反过来，若满足，则向量 一定共线.
这就是说，向量 共线的充要条件是.
即
.
典型例题
例4： 已知 ，判断三点之间的位置关系 .
C
x
y
O
B
A
典型例题
例5：设是线段 上的一点，点，的坐标分别是，.
(1) 当是线段的中点时，求点的坐标；
(2) 当是线段 的一个三等分点时，求点的坐标.
x
y
典型例题
x
y
线段中点的坐标公式
典型例题
例5：设是线段 上的一点，点，的坐标分别是，.
(1) 当是线段的中点时，求点的坐标；
(2) 当是线段 的一个三等分点时，求点的坐标.
x
y
典型例题
例5：设是线段 上的一点，点，的坐标分别是，.
(1) 当是线段的中点时，求点的坐标；
(2) 当是线段 的一个三等分点时，求点的坐标.
x
y
新知探究
如图，线段的端点，的坐标分别为，，点是直线上的点，当时，点的坐标是什么？
探究
x
y
新知探究
如图，线段的端点，的坐标分别为，，点是直线上的点，当时，点的坐标是什么？
探究
x
y
新知探究
x
y
定比分点坐标公式
随堂练习
1、已知，，求，的坐标.
2、当为何值时，与共线？
随堂练习
3、若点，，，，则与是否共线？
随堂练习
4、求线段的中点坐标：
（1），；
（2），；
（3），.
5、已知点，向量，，点是线段的三等分点，求点的坐标.
本节课到此结束！
谢谢大家！