安徽省合肥市庐江县2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省合肥市庐江县 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 3 4 5 10
1.在数列 ， ， ， ， 中， 是它的( )
7 11 15 19 39
A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项
2.已知直线 : + 1 = 0，圆 : 2 + 2 = 3，则直线 与圆 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
3. ( ) = 2在 = 1处的导数为( )
A. 2 B. 1 C. 2 + D. 2
4.过 (4, )， (2, 3)两点的直线的一个方向向量为 = ( 1, 1)则 =( )
√3 √3
A. B. C. 1 D. 1
2 2
5.已知数列{ }为各项均为正数的等比数列， 5和 6是方程
2 8 + 10 = 0的两个根，则lg 1 + lg 2 + +
lg 10 =( )
7 9
A. B. 4 C. D. 5
2 2
2 2
6.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的一个焦点到其渐近线的距离为4 ，则 的离心率为( )
A. √ 17 B. √ 15 C. 5 D. 2
7.在三棱锥 中，设 = ， = ， = ，点 在 上，且2 = ， 为 中点，则 =( )
1 2 1 2 1 1
A. + B. + +
2 3 2 3 2 2
1 1 1 2 2
C. + + D.
1
+
3 2 2 3 3 2
2 2 2 2
8.如图，已知半椭圆 1: 2 + 2 = 1
( ≥ 0)与半椭圆 2: 2 + = 1( < 0)组成的曲线称为“果圆”，其中
2
2 = 2 + 2, > > > 0.“果圆”与 轴的交点分别为 1, 2，与 轴的交点分别为 1, 2，点 为半椭圆 2
上一点(不与 1重合)，若存在 1 · 2 = 0，则半椭圆 1的离心率的取值范围为( )
2 1 2 1 √ 5 1 √ 5 1 2
A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
3 2 3 2 2 2 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数运算中不正确的是( )
1
A. (4)′ = 2 B. (ln )′ = C. (3 )′ = 3 1 D. ( 5)′ = 5 4
ln10
10.已知等比数列{ }的前 项积为 ， 1 > 0，公比 > 0， 8 < 1 < 9，则( )
1
A. > B. < 1
54
C. 当 = 5时， 最小 D. 当 = 4时， 最小
11.如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1 = 3， = = 2，∠ = 90
，点 ， 分别是线段 ， 1

上的动点(不含端点)，且 = ，则下列说法正确的是( )
1
A. //平面 1
B. 该三棱柱外接球的表面积为17
4
C. 二面角 的余弦值为
13
2√ 2
D. 异面直线 1 与 1所成角的正切值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一条光线从点 (4,2)射出，经过直线 = 反射后过点 (1, 6)，则反射光线所在直线的方程为 ．
13.过点(1,0)作倾斜角为120 的直线与 2 = 4 交于 ， ，则| | = ．
14.我县某高中从高二年级创新甲班和创新乙班两个班中各选出7名学生参加2024年全国高中数学联赛(安
徽赛区初赛)，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均
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1 4
数是86，若正实数 ， 满足 ， ， 成等差数列，且 ， ， 成等比数列，则 + 的最小值为 ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ 的顶点 (5,1), 边上的中线 所在直线方程为2 5 = 0， 边上的高 所在直线方程
为 2 5 = 0.求
(1)顶点 的坐标；
(2)直线 的方程．
16.(本小题12分)
设数列{ }满足 1 = 4， +1 = + 4 + 4．
(1)求数列{ }的通项公式;
1
(2)求数列{ }的前 项和

．

17.(本小题12分)
2
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点 到双曲线 2 = 1的渐近线的距离为1．
3
(1)求抛物线 的方程;
(2)若不过原点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ⊥ ，求证：直线 过定点．
18.(本小题12分)
如图所示，两个正方形框架 ， 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点 ， 分别在正方形
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对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记 = = (0 < < √ 2).
(1) 为何值时， 的长最小
(2)当 的长最小时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
定义：对于数列{ }，若存在常数 ，对任意的 ∈
都有| +1 | + | 1| + + | 2 1| ≤ ，
则称数列{ }为和谐数列．
1
(1)已知数列 = ( )
，判断{
3
}是否为和谐数列，并说明理由;
(2)设 是数列{ }的前 项和，证明：若{ }是和谐数列，则{ + 1}也是和谐数列;
(3)若{ }、{ }都是和谐数列，证明{ }也是和谐数列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】10 16 = 0．
16
13.【答案】
3
9
14.【答案】
8
15.【答案】解：(1)设 ( , )，
∵ 边上的中线 所在直线方程为2 5 = 0， 边上的高 所在直线方程为 2 5 = 0．
2 5 = 0 = 4
∴ { 1 1 ，解得{ ，
× = 1 = 3
5 2
∴ (4,3)．
(2)设 ( , )，
2 5 = 0 = 1
则{ +5 1+ ，解得{ ，
2 × 5 = 0 = 3
2 2
∴ ( 1, 3)，
3+3 6
∴ = = ， 4+1 5
6
∴直线 的方程为 3 = ( 4)，化为6 5 9 = 0．
5
16.【答案】解：(1) ∵ +1 = + 4 + 4 +1 = 4 + 4，
可知 1 = 4( 1) + 4， 1 2 = 4( 2) + 4， 2 3 = 4( 3) + 4， ， 3 2 =
4 × 2 + 4， 2 1 = 4 × 1 + 4， 1 = 4，
上式相加得 = 4( 1) + 4 + 4( 2) + 4 + 4( 3) + 4 + + 4 × 2 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4[( 1) +
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( 2) + ( 3) + + 2 + 1] + 4( 1) + 4
( 1)
= 4 × + 4( 1) + 4 = 2 2 + 2 ，( ≥ 2)
2
当 = 1时， 1 = 4，也满足上式，
∴数列{ 2 }的通项公式 = 2 + 2 ， ∈ .
1 1 1 1 1 1
(2) = = = ( )， ∈ ，
2 2+2 2 ( +1) 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ = + + + + + = (1 ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) = 1 2 3 1 2 2 2 2 3 2 3 4 2 1 2 +1
1 1
(1 ) = ，
2 +1 2 +2
1
∴数列{ }的前 项和 = ．
2 +2
√ 3
17.【答案】(1)解：抛物线的焦点 为( , 0)，双曲线的渐近线方程为： = ± ，即： ± √ 3 = 0，
2 3

| |
则 2 = 1，解得 = 4，
√ 2 12+(±√ 3)
故抛物线 的方程为： 2 = 8 ．
(2)证明：若直线 的斜率存在，不妨设为 ( ≠ 0)，则 的方程为： = + ，
= +
与抛物线方程联立得{ 2 ，消去 得：
2 2 + (2 8) + 2 = 0，
= 8
= (2 8)2 4 2 2 > 0，即64 32 > 0时，
2
2 8
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2，

由 ⊥ 可得： 1 2 + 1 2 = 0，即 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) = 0，
亦即：(1 + 2) 1 2 + ( 1 +
2
2) + = 0，
2
2 8
将 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 代入上式得：
2
2 + 8 = 0，

又 ≠ 0即： = 8 ，
所以直线 的方程为： = 8 ，即 = ( 8)，故直线 过定点(8,0)，
若直线 的斜率不存在，设 ( 2 20, 0)， ( 0, 0)，由 ⊥ 可得： 0 0 = 0，
又 20 = 8 0，联立解得： 0 = 8或 0 = 0(舍)，
此时直线 的方程为 = 8，即直线 过点(8,0)，
综上可得：直线 过定点(8,0)．
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18.【答案】解：以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系(如图)，

(0,0,0)， (1,0,0)， (0,1,0)， (0,1,1)，∵ = = ，∴ (1 , , 0)， (0, , )，
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2
√ 2 1
(1)| | = √ (1 )2 + ( )2 + (0 )2 = √ 2 √ 2 + 1 = √ ( )2 + ，
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2 2 2
√ 2
当 = 时，| |
√ 2
最小，最小值为 ;
2 2
1 1 1 1 1 1 1
(2)由(1)可知，当 ， 为中点时， 最短，则 ( , , 0)， (0, , )，取 的中点 ，连接 ， ，则 ( , , )，
2 2 2 2 4 2 4
∵ = ， = ，∴ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ 是平面 与平面 的夹角或其补角．
1 1 1 1 1 1∵ = ( , , )， = ( , , )，
4 2 4 4 2 4
1
· 1
∴ cos , = = 8 =
| || | 1 1 1 1 1 1 3， √ 2 2 2 2 2 2 ( ) +( ) +( ) ·√ ( ) +( ) +( )
4 2 4 4 2 4
1
∴平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
3
19.【答案】(1)解：{ }是和谐数列，理由如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
|( ) +1 ( ) | + |( ) ( ) 1| + + |( )2 ( )1| = 2[( ) +1 + ( ) + + ( )2]
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
( )[1 ( ) ] 1 1 1
上式= 2 9 31 = ( )
+1 <
1 3 3 3
3
∴数列{ }是和谐数列．
(2)证明：∵ { }是和谐数列，∴存在常数 ，对任意的 ∈ ，
有| +1 | + | 1| + + | 2 1| ≤ ，
即| +1| + | | + + | 2| ≤ ，
则|( +1 + 1) ( + 1)| + |( + 1) ( 1 + 1)| + + |( 2 + 1) ( 1 + 1)|
≤ | +1| + 2| | + 2| 1| + + 2| 2| + | 1| ≤ 2 + | 1| | +1| ≤ 2 + | 1|，
∴数列{ + 1}是和谐数列．
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(3)证明：若{ }，{ }都是和谐数列，则存在常数 1， 2，
对任意的 ∈ ，有| +1 | + | 1| + + | 2 1| ≤ 1，
| +1 | + | 1|…+ +| 2 1| ≤ 2，
| | = | 1 + 1 + 2 + + 2 1 + 1|
≤ | 1| + | 1 2| + + | 2 1| + | 1| ≤ 1 + | 1|，
即| | ≤ 1 + | 1|，
同理| | = | 1 + 1 + 2 + + 2 1 + 1|
≤ | 1| + | 1 2| + + | 2 1| + | 1| ≤ 2 + | 1|，
即| | ≤ 2 + | 1|.
∵ | +1 | + | 1| + + | 2 1| ≤ 2，∴ | +1 | ≤ 2，
∴ | +1| = | +1 + | ≤ | +1 | + | | ≤ 2 + 2 + | 1| = 2 2 + | 1|，
记 1 = 1 + | 1|， 2 = 2 2 + | 1|，
则有| +1 +1 | = | +1 +1 +1 + +1 | ≤ | +1|| +1 | + | || +1 |
≤ 2| +1 | + 1| +1 |，
∴ | +1 +1 | + | 1 1| + + | 2 2 1 1|
≤ 2(| +1 | + | 1| + + | 2 1|) + 1(| +1 | + | 1| + + | 2 1|)
≤ 2 1 + 1 2，
∴数列{ }也是和谐数列．
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