山东省滨州市2024-2025学年高一（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

山东省滨州市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.“ < 1”是“ > 1”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 (4,3)，则sin cos =( )
7 1 1 7
A. B. C. D.
5 5 5 5
1 1
3.若 = log ， = 3 ， = sin3，则 ， ， 的大小关系为( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2
5.函数 = 4 的图象大致为( ) +1
A.
B.
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C.
D.
6.式子31+log32 + lg2 + log72 × log27 × lg5 =( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.若 > 0， > 0，且 = 4 + + 5，则 的最小值为( )
A. 25 + 2√ 2 B. 25 C. 5 D. 1
1
8.已知sin( + ) = ，tan = 5tan ，则cos(2 2 ) =( )
2
1 3 7 41
A. B. C. D.
3 10 9 50
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“ > 1，都有2 + 1 > 5”的否定为“ > 1，使得2 + 1 ≤ 5”
1 3
B. 函数 ( ) = log0.5(4 3) + 的定义域是( , 1) ∪ (1, +∞) 1 4
C. 函数 ( ) = 5 + 3( > 0，且 ≠ 1)的图象经过定点(5,3)
D. 已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≤ 0时， ( ) = ( + 1)，则当 > 0时， ( ) = 2
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10.已知函数 ( ) = 2cos( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
2

A. =
3

B. 若| 1 2| < ，则| ( 1) ( 2)| < 4． 2
1
C. 将 ( )的图象向右平移 个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到
6 3
函数 = 2sin6 的图象

D. ( )的图象关于直线 = 对称
6
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、、牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号[ ]表示不超过 的最大整数，则
[ ]
= [ ]称为高斯函数，例如，[2.1] = 2，[ 1.8] = 2.定义函数 ( ) = ，则下列说法正确的是( )

A. ( )的定义域为{ | ≠ 0} B. ( )在区间( 2, 1)上单调递减
C. 当 < 0时， ( )的最小值为1 D. 当 > 0时， ( )的最大值为1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若幂函数 ( ) = ( 2 3 3) 1在(0, +∞)上单调递减，则实数 = ．

3 cos (3 + )cos ( )tan ( )
13.已知 是钝角，sin = ，则 2 3 = ． 5 sin ( )sin ( + )
2
2 + 2 3, 0,
14.已知函数 ( ) = { 若函数 ( ) = ( ) 恰有2个零点，则实数 的取值范围是 ．
|ln |, > 0,
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 1 < < 3}， = { |1 < 2 < 16}．
(1)求 ∩ ;
(2)设集合 = { | < < 3 2 }，若 ( ∪ )，求实数 的取值范围．
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16.(本小题12分)
设函数 ( ) = 2 + 2， ( ) = + 1． ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的最大者，记为 ( ) =
max{ ( ), ( )}.已知关于 的不等式 ( ) < 0的解集为( 1,2)．
(1)求实数 ， 的值，并写出 ( )的解析式;
(2)若 ∈ ， ( ) ≥ log ( 22 2 2)恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产 万件，需增加投入成本为 ( )万元.当年产量不足9万
100 1000
件时， ( ) = 2 + 100 ;当年产量不小于9万件时， ( ) = 510 + 1300.通过市场分析，每件产
3
品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为 ( )万元. (利润=销售收入 总
成本)
(1)求年利润 ( )的函数解析式;
(2)求年产量 为多少时，该厂的年利润 ( )最大
18.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2sin(2 ) + 4cos2 1．
6
(1)求 ( )的最小正周期;

(2)求 ( )在区间[0, ]上的最大值和最小值;
2
(3)求 ( )在区间[ , 0]上的单调递增区间．
19.(本小题12分)
悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀、柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形
状.如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状。双曲余弦函数的图象的形状就是一种特殊
+
的悬链线.定义双曲余弦函数为cosh = ，双曲正弦函数为sinh = ．
2 2
(1)求证：(cos )2 (sin )2为定值．
sinh
(2)设函数 ( ) = ，
cosh
①判断 ( )的单调性，并用定义证明;

②若对于 ∈ (0, )， ( sin2 ) + (cos( )) > 0恒成立，求实数 的取值范围．
2 4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 1
3
13.【答案】
4
14.【答案】( 4, 3] ∪ {0}
15.【答案】解：(1)由 = { |1 < 2 < 16}，得 = { |0 < < 4}．
所以 ∩ = { |0 < < 3}．
(2)由(1)得 ∪ = { | 1 < < 4}
因为 ( ∪ )，
当 = 时， 3 2 ，解得 1；
3 2 >
1
当 ≠ 时，则{3 2 ≤ 4,解得 ≤ < 1，
2
≥ 1
1
综上，实数 的取值范围为[ , +∞)．
2
16.【答案】解：(1) ∵ ( ) = 2 + 2 < 0的解集为( 1,2)，
∴方程 2 + 2 = 0的两根分别为 1和2，

1 + 2 = = 1
由韦达定理可得：{ ，解得{ ,
2
1 × 2 = = 1

∴ ( ) = 2 2．
令 + 1 = 2 2，解得 = 1或 = 3，作出 ( )的图象如下图所示：
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2 2, 1
则 ( ) = { + 1, 1 < 3 ．
2 2, > 3
(2)由(1)得，当 = 1时， ( )有最小值，即 ( )min = 0，
∵ ∈ ， ( ) ≥ log2(
2 2 2)恒成立，
∴只需 ( )min = 0 log
2
2( 2 2)即可，即 ( )
2
min = 0 = log21 log2( 2 2)，
0 < 2 2 2 1，解得：1 + √ 3 < 3或 1 < 1 √ 3，
故 ∈ [ 1,1 √ 3) ∪ (1 + √ 3, 3]．
100 100
17.【答案】解：(1)当0 ≤ < 9时， ( ) = 500 ( 2 + 100 ) 300 = 2 + 400 300，
3 3
1000 1000
当 ≥ 9时， ( ) = 500 (510 + 1300) 300 = 10 + 1000，

100
2 + 400 300,0 < 9
所以 ( ) = { 3 ；
1000
10 + 1000, 9

100
(2)当0 ≤ < 9时， ( ) = ( 6)2 + 900，
3
所以当 = 6时， ( )取得最大值，最大值是900万元，
100 100
当 ≥ 9时， ( ) = 1000 10( + ) ≤ 1000 10 × 2√ = 800，

100
当且仅当 = ，即 = 10时等号成立，

所以当 = 10时， ( )取得最大值，最大值是800万元，
因为900 > 800，所以，年产量为6万件时，该厂年利润 ( )最大．
1+ 2
18.【答案】解： ( ) = 2 ( 2 ) + 4 2 1 = √ 3 2 2 + 4 · 1
6 2

= √ 3 2 + 2 + 1 = 2 (2 + ) + 1，
6
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2
(1) ( )的最小正周期为： = = ;
2
7
(2)因为 ∈ [0, ]，则2 + ∈ [ , ]，
2 6 6 6

结合正弦函数的单调性可得，函数 ( )在[0, ]上单调递增，在[ , ]上单调递减；
6 6 2

所以当2 + = ，即 = 时， ( ) = 2 × 1 + 1 = 3，
6 2 6 max
7 1
当2 + = ，即 = 时， ( )min = 2 × ( ) + 1 = 0; 6 6 2 2

(3)令 + 2 2 + + 2 , ∈ ，解得 + + , ∈ ，
2 6 2 3 6
又因为 ∈ [ , 0]，
5
令 = 0，可得单调递增区间为[ , ]，
6

令 = 1，可得单调递增区间为[ , 0]；
3
5
所以 ( )在区间[ , 0]上的单调递增区间为：[ , ], [ , 0]．
6 3
+ 2 +2+ 2 2 2+ 2
19.【答案】解：(1)(cos )2 (sin )2 = ( )2 ( )2 = = 1，
2 2 4 4
所以(cos )2 (sin )2是定值1．
sinh
(2) ( ) = = ． cosh +
①函数 ( )在 上单调递增．
证明如下：任取 1， 2 ∈ ( ∞, +∞)，且 1 < 2，
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1
则 ( 1) ( 2) = = 1+ 1 2+ 2 2 1+1 2 2+1
( 2 1 1)( 2 2 + 1) ( 2 2 1)( 2 1 + 1)
=
( 2 1 + 1)( 2 2 + 1)
2( 2 1 2 2)
=
( 2 1 + 1)( 2 2 + 1)
因为 < ，所以 2 1 < 2 2，即 2 1 2 21 2 < 0．
又因为 2 1 + 1 > 0， 2 2 + 1 > 0，，
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2).
所以函数 ( )在 上单调递增．
②函数 ( )的定义域为 ，因为 ∈ ，都有 ∈ ，

且 ( ) = = ( )，所以函数 ( )为奇函数． +
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因为 ( sin2 ) + (cos( )) > 0，
4

所以 ( sin2 ) > (cos( ))，
4

因为 ( )为奇函数，所以 ( sin2 ) > ( cos( ))．
4

由 ①知，函数 = ( )在 上单调递增，所以 sin2 > cos( )，
4

因为0 < < ，所以0 < 2 < ，所以sin2 > 0．
2
√ 2
cos( ) (cos +sin ) √ 2 sin +cos
所以 > 4 = 2 = ( )，
sin2 2sin cos 4 sin cos

设 = sin + cos ， ∈ (0, )，
2
2
(sin +cos ) 1 2 1
则 = √ 2sin( + ) ∈ (1, √ 2]，sin cos = = ，
4 2 2
√ 2 √ 2
所以 > 2 = 2 ， 4 1 2 1
2
√ 2 √ 2 1
设 ( ) = 2 = ， 2 1 2 1

则 ( )在(1, √ 2]上单调递增，
√ 2 √ 2 √ 2
( )max = 2 = √ 2 ( ) = 1， 2 (√ 2) 1 2
所以 > 1.所以实数 的取值范围是{ | > 1}．
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