河北省石家庄市2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

河北省石家庄市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 2 = 3 的焦点坐标为( )
3 3
A. (3,0) B. ( , 0) C. ( , 0) D. (6,0)
2 4
2.若等比数列{ }满足 3 + 4 = 1， 3 5 = 3，则公比 =( )
3 3
A. B. 2 C. 2 D.
2 2
3.过点 (1, 1)且与圆 : 2 + 2 4 + 2 = 0相切的直线方程为( )
A. + = 0 B. 2 = 0 C. = 0 D. + 2 = 0
4.已知圆 2 21: + = 9与圆 2: ( 4)
2 + ( 3)2 = 4，则两圆的公切线条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知平面 = { | 0 = 0}，其中点 0( 1,2,5)，平面 的法向量 = (1,1,1)，则下列各点中在平面 内
的是( )
A. (1,2,3) B. (0,3,6) C. (1,1,1) D. (0,0,0)
2 2
6.若椭圆 + = 1的弦 的中点 (2,1)则弦长| | =( )
16 4
A. 4 B. 5√ 2 C. 2 D. 2√ 5
2 2
7.设 1， 2分别是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过点 2作双曲线 的一条渐近线的垂线，
3
垂足为 ，若| 1| = (2 为焦距)，设双曲线 的离心率为 ，则 =( ) 2
3+√ 44 2√ 15 7 √ 44 √ 65
A. B. C. D.
10 5 10 5
8.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中，以 为原点， 、 、 1所在直线分别为 轴， 轴， 轴建
立空间直角坐标系，若直线 上的点 到直线 1的距离最短，则 点坐标为( )
1 1 2 1 1 2
A. ( , , 0) B. ( , , 0) C. ( , , 0) D. (0,1,0)
2 2 3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列{ }的前 项和为
2
， = 3 2 ( ∈ )，则下列结论正确的是( )
A. 2 = 8 B. { }为等差数列 C. 10 = 3 + 40 D. { }是递增数列
10.三棱锥 ， ， ， 两两垂直， 为△ 的重心， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
= 2， = 3， = 1，下列叙述正确的是( )
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A.
1
=
2
+
1
+ B. 在面 上的投影向量为
3 3 3
1
C. 异面直线 与 所成的角为 D. 点 到平面 的距离为
3 3
11.平面内到两定点距离之积为常数(此常数不为0)的点的轨迹称为卡西尼卵形线。已知在平面直角坐标系
中， 1( 2,0)， 2(2,0)，动点 满足| 1| | 2| = 4，其轨迹为一条连续的封闭曲线 ，如图所示，则
下列结论正确的是( )
A. 曲线 与 轴交点的坐标为(0,0)，(±2√ 2, 0)
B. △ 1 2周长的最小值为8
C. 若直线 = 与曲线 只有一个交点，则 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [1,+∞)
D. △ 1 2面积的最大值为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 1: 2 + 3 + 1 = 0，若直线 2与 1垂直，则直线 2的斜率为 ．
1
13.已知 为抛物线 : 2 = 12 的焦点， 为抛物线上一点， 为 轴上一点，且 = ，则| | = ．
3
2 , = 2
14.已知数列{ }满足 +1 = {
( ∈ )， 1， 2， 3成等比数列， 为其前 项和，则{ } + 1, = 2 1

的前10项和 10 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 2， 6 = 27，
(Ⅰ)求{ }的通项公式;
1
(Ⅱ)若 = ，且{ }的前 项和为 ，求 ． +1
16.(本小题12分)
平行四边形 的两条邻边 ， 所在的直线分别为 : 4 + 5 = 0， : 2 + 8 = 0，两条对角
线交点为 (0, 1)，
(Ⅰ)求边 所在直线方程;
(Ⅱ)求平行四边形 的面积．
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17.(本小题12分)
已知圆 过点 (4,8)， (6,6)，且圆心在4 3 = 0上，
(Ⅰ)求圆 的方程;
(Ⅱ)已知平面内两点 ( 1,0)， (1,0)， 为圆 上的动点，求| |2 + | |2的最小值．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥 中，△ 是以 为斜边的等腰直角三角形，△ 是以 为斜边的等腰直角三
角形。 ， ， 分别是 ， ， 的中点， = 2√ 2， = √ 3
(Ⅰ)证明：平面 ⊥平面 ;
(Ⅱ)求点 到平面 的距离;
(Ⅲ)求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
2 2 √ 5
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 ，其虚轴长为1， 2
(Ⅰ)求双曲线 的方程;
√ 5
(Ⅱ)直线 : = + 与双曲线 的右支交于 、 两点，
2
①求实数 的取值范围;
√ 5
②若直线 ′: = + 也与双曲线 的右支交于 、 两点，且 ′与 垂直，求四边形 面积的最小值。
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
2
13.【答案】15
14.【答案】171
6×5
15.【答案】解：(Ⅰ)由等差数列求和公式得 6 = 6 1 + = 27， 2
∵ 1 = 2，∴ = 1，
∴ = 2 + ( 1) × 1 = + 1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知： = + 1，
1 1 1 1
则 = = = ， +1 ( +1)( +2) +1 +2
则 = 1 + 2 + +
1 1 1 1 1 1
= + + +
2 3 3 4 + 1 + 2
1 1
= = ．
2 +2 2 +4
4 + 5 = 0 = 3
16.【答案】解：(Ⅰ) { ，得{ ，∴ (3,2)，
2 + 8 = 0 = 2
∵ (0, 1)为对角线的交点，即 的中点，
由中点坐标公式得 ( 3, 4)，
1
∵ = ，∴ = ， 4
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1
由点斜式直线方程可得 : + 4 = ( 3)， 4
即 : 4 13 = 0；
4 13 = 0 = 5
(Ⅱ) { { ，∴ (5, 2)，
2 + 8 = 0 = 2
∴ | | = √ (3 5)2 + (2 + 2)2 = 2√ 5，
| 6 4 8| 18
由点到直线的距离公式可得 = = ， √ 4+1 √ 5
18
∴ = | | = 2√ 5 = 36．
√ 5
17.【答案】解：(Ⅰ) ∵ (4,8)， (6,6)，由中点坐标公式得 的中点坐标为(5,7)，
8 6
∵ = = 1， 4 6
∴ 的中垂线方程为： 7 = 5，即 + 2 = 0，
+ 2 = 0 = 6
{ { ，
4 3 = 0 = 8
∴ (6,8)， = | | = √ (4 6)2 + (8 8)2 = 2，
∴圆 的方程为( 6)2 + ( 8)2 = 4;
(Ⅱ)设 ( , )，
∴ | |2 + | |2 = ( + 1)2 + 2 + ( 1)2 + 2 = 2( 2 + 2) + 2，
2 + 2即点 到原点 的距离的平方，
∴ | | 2 2min = | | = √ 6 + 8 2 = 8，
∴ ( 2 + 2)min = 64，
(| |2 + | |2)min = 2 × 64 + 2 = 130．
18.【答案】解：(Ⅰ) ∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 = 2√ 2，∴ = = 2，
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形， = = √ 2，
1
中， = √ 2， = = 1，
2
∵ = √ 3，∴ 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)取 中点 ，连接 ， ，
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由(1)可知平面 ⊥平面 ，
又∵ ⊥ ，平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ， // ， ⊥ ，
∴ ⊥ ，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
1 1
(0,0,1)， (0,1,0)， (0, , )， (0, 1,0)， (2,1,0)，
2 2
= (0, 1, 1) = (2,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( 0, 0, 0)，

∴ { 0
0 = 0 ，∴ = (1, 1,1)，
2 0 + 2 0 = 0

1 1
= (0, , )，
2 2
| | √ 3
∴ 到平面 的距离为 = ；
| | 3
(Ⅲ) (1，0，0)，∴ = (1,0, 1)， (1,1,0)，∴ = (0,1,0)，
= 0
设平面 的法向量为 = ( , 1 11 1, 1)，∴ { = (1,0,1)， 1 = 0
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 2 √ 6
cos = |cos < , > | = = = ．
| || | √ 2×√ 3 3
√ 5
= = 1
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{ 2 ,得{ 1，
2 = 1 =
2 2 2 2 = +
故双曲线 的方程为： 2 4 2 = 1．
√ 5
= + 1
(Ⅱ)①{ 2 ( 2 4) 2 + √ 5 + = 0,
2 4 2
4
= 1
∵直线与双曲线右支有两个交点，
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5 2 ( 2 4) > 0
> 0
∴ { ，得{ 1 ∈ ( 2,2);
1 2 < 0 4
2
< 0
4
1
√ 5
②由①可得 1 +
4
2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 4 4
1
√ √ 5
∴ | | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 +
2 ( )2 4 4
2 4 2 4
2(1+ 2)
= ，
| 2 4|
2(1+ 2)
同理可得| | = ，
|1 4 2|
2 21 2(1+ )
∴ = | | | | = 2 ， 2 | 4|·|1 4 2|
由(2)可知 ∈ ( 2,2)， ∈ ( 2,2)，且 = 1，
1 1
∴ ， ∈ ( 2, ) ∪ ( , 2)．
2 2
2
2(1+ 2)
∴ = ，
(4 2) (4 2 1)
(4 2)+(4 2 1) 3(1+ 2)
∵ (4 2) (4 2 1) ≤ ( )2 = ( )2，
2 2
2 4 8∴ ≥ 2(1 + )2 2 = ，
9(1+ 2) 9
当且仅当4 2 = 4 2 1，即 2 = 1时取到等号，
8
四边形 面积的最小值为 ．
9
第 7 页，共 7 页