浙江省台州市2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省台州市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系 中，点 (1,2,3)在坐标平面 内射影的坐标为( )
A. (0,1,2) B. (1,0,3) C. (1,2,0) D. (0,0,0)
2.已知直线 的一般式方程为 2 + 6 = 0，则( )

A. 直线 的截距式方程为 + = 1 B. 直线 的截距式方程为 = 1
6 3 6 3
1 1
C. 直线 的斜截式方程为 = + 3 D. 直线 的斜截式方程为 = 3
2 2
2 2
3.已知椭圆的标准方程为 + = 1，下列说法正确的是( )
4 3
A. 椭圆的长轴长为2 B. 椭圆的焦点坐标为(√ 7, 0)，( √ 7, 0)
C. 椭圆关于直线 = 对称 D. 当点( 0, 0)在椭圆上时，| 0| ≤ √ 3

4.设等比数列{ }( ∈
)的前 项和为 ，若
3 = 3，则 4的值为( )
2 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的
关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有
前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点 ， )，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点 )与这两个觇孔的
3 4 89
中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点 (0, )，点 ( , )，则点 的坐标为( )
2 5 50
9 11
A. (10, ) B. (10,5) C. (10, ) D. (10,6)
2 2
6.在四面体 中， = = = 0，| | = | | = 2，若直线 与平面 所成角
为30 ，则| | =( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
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7.已知等差数列{ }( ∈
)的首项为 1，公差为√ 2，前 项和为 ，数列{ }满足： = ，则下列说
法正确的是( )
A. 1 ∈ ，数列{ }为递增数列
B. 1 ∈ ，使得数列{ }为递减数列
C. 1 ∈ 及正整数 ， ， (1 < < < )，使得 ， ， 成等比数列
D. 1 ∈ ( 1,+∞)，数列{ }的最小项为 1 1
2 2
8.已知椭圆 : + 2 = 1(0 < < √ 5)的左右焦点分别为 5 1
， 2，点 ( 0, 0)是椭圆 上第一象限的一点，

△ 1 2的内心为 ( 1, 1)，若 0 = √ 5 1，则椭圆 的方程为( )
2 2 2 2 22
2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
5 5 2 5 3 5 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于曲线 : 2 + 2 = 1( , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)，下列说法正确的是( )
A. 若 = > 0，则曲线 表示圆 B. 若 = 0，则曲线 表示抛物线
C. 若 > 0，则曲线 表示椭圆 D. 若 < 0，则曲线 表示双曲线
10.对于数列{ }( ∈
)，若存在正整数 ，使得对于任意正整数 ，都有 + = ，则称数列{ }为周期
数列.下列数列{ }中为周期数列的是( )

1+( 1) 1
A. = B. 1 = 2， +1 = 1 2
2 , 是奇数,
C. = 2 sin D. 1 = 1， +1 = { 1 2 , 是偶数.

11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为 1 1的中点， 为 1 1的中点， 为平面 1内的动点，
则( )
A. 1//平面 1
B. 平面 1 1与平面 1所成角的正切值为√ 2

C. 若 与 1所成角为 ，则点 的轨迹为圆 3
√ 2+√ 14
D. △ 周长的最小值为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.已知双曲线 2 2 = 1( > 0)的离心率为√ 5，则 =________．

13.已知曲线 2 + 2 = | | + | |，则该曲线的一条对称轴方程为________. (写出满足条件的一个方程即可)
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14.用 { , }表示两数 ， 中的较大者，记 = {3 1, · 2
1}( > 0， ∈ )，若 1 + 2 + 3 +
4 + 5 ≥ 60，则 的取值范围是________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线 : + 4 = 0，圆 : ( )2 + ( 2)2 = 2．
(1)若直线 把圆 分成面积相等的两部分，求实数 的值;
(2)若直线 与圆 相切，求实数 的值．
16.(本小题12分)
1
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 3，∠ = ， = 1． 3 3
(1)用 ， ， 1表示 ;
(2)求直线 与直线 1所成角的余弦值．
17.(本小题12分)
设函数 ( ) = 2 1， ( ) = 4 2 2 1，数列{ }，{

}( ∈ )满足： 1 = √ 3，
2
1 = 1， +1 =
2
( )+ ( ) ( ) [ ( )]，
2 +1
= ．
2
(1)若 > 0，求数列{ }的通项公式;
(2)求数列{ (
2
1)}( ∈
)的前 项和 ．
18.(本小题12分)
1
动点 ( , )到直线 = 与直线 = 的距离之积为 ，记点 的轨迹为曲线 ．
2
(1)求曲线 的方程;
3
(2)若点 ( 20, 0)为曲线 与抛物线 = 2 (0 < ≤ )的一个公共点，点 (4 , 0)． 4
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①求 0的取值范围;
②当 0 > 0，且 0 ≠ 1时，求直线 斜率的取值范围．
19.(本小题12分)
把 元有序实数组( 1, 2, , )称为 维向量，类似平面向量与空间向量，对于 维向量 = ( 1, 2, , )，
= ( 1, 2, , )，也可定义两个向量的加法运算和减法运算 ± = ( 1 ± 1, 2 ± 2, , ± );数乘运算
= ( 1, 2, , )， ∈ ;向量的长度(模) | | = √ ∑
2
=1 ;两个向量的数量积 = | | · | |cos < ，
|∑
|
>= ∑ =1 (< , >表示向量 ， 的夹角，< ， >∈ [0, ]);向量 在向量 上的投影向量的模
=1 . 维
√ ∑ =1
2

向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间．
(1)已知 = (1,2,3,4,5)， = (1,1,1,1,1)，求向量 ， 的夹角的余弦值;
(2)已知4维向量 = (1,2,3,0)， = (1,2,0,4)， = (1,0,3,4)， = (0,2,3,4)， = + + +
，且6 + 7 + 8 + 9 = 1，求| |的最小值;

|∑ =1 |(3) ∈ ( = 1,2 , )，∑ =1 = 0，求 的最大值(用含 的式子表示)．
√ ∑ 2 =1
( +1)(2 +1)
(注：12 + 22 + + 2 = )
6
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】 = 0(答案不唯一， = ， = ， = 0均可)
15
14.【答案】[ , +∞)
8
15.【答案】解：(1)由题意得，圆心( , 2)在直线 上，即 + 2 = 0，即 = 2．
(2)圆 的半径为√ 2，
| +2|
圆心到直线 的距离 = = √ 2，
√ 2
解得 = 0或 = 4．
1
16.【答案】解：(1) = + = +
3 1
1
= + (
3 1
)
2 1
= + 1； 3 3
(2)设直线 与直线 1所成角为 ，
且
2 1
| = | + |
3 3 1
2 1 2 2 2
= √ ( + )2 = √
4 1 4 4 2
+ + · + · · 1 1 1 1 = 2√ 2， 3 3 9 9 3 9 3
| 1 | = 3√ 2，
2 1
1 = ( + 1) ( + 3 3 1) = 3，
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· 1
所以cos = | 1 | = ，
| || 1| 4
1
所以直线 与直线 1所成角的余弦值为 ． 4
2 1+4 2 2 1
17.【答案】解：(1) 2 = = 2 2 +1 1， 2
得 2 +1 1 = 2(
2
1)，又
2
1 1 = 2，
所以数列{ 2 1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 2 2 1 1 = ( 1 1) × 2 ，
化简得 2 = 2
+ 1，
因为 > 0，所以{

}的通项公式为 = √ 2 + 1;
2
( ) [ (
(2) =
)]
+1 = 1， 2
所以数列{ }是以 1为首项， 1为公差的等差数列，
= 1 + ( 1) × ( 1) = ，
(
2
1) = 2
，
= 1 × 2 2 × 2
2 3 × 23 ··· × 2 ，
2 = 1 × 22 2 × 2
3 3 × 24 ··· × 2 +1，
两式相减得 = 2 2
2 23 ··· 2 + × 2 +1，
所以 = 2 + 22 + 23 + + 2 × 2
+1 = (1 ) 2 +1 2，
故 = (1 ) 2
+1 2．
| | | + | 1
18.【答案】解：(1)由题意得 ． = ，
√ 2 √ 2 2
化简得| 2 2| = 1，故曲线 的方程为： 2 2 = 1或 2 2 = 1．
(2) ①由(1)可知， 2 20 0 = 1或
2
0
2
0 = 1，
2
2 2 = 1 2+1
当 0
2 = 1时，由{ 0 00 2 ,得 =
0 ，
= 2 2 0 0 0
3
因为 ≤ 时， 0无解(舍去); 4
2 2 = 1 2 1
当 2 20 0 = 1时，由{
0 0
2 ,得 =
0 ，
2 0 = 2 0 0
3
由0 < ≤ ，得1 < 0 ≤ 2， 4
故 0的取值范围为(1,2]．
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√
2
0 1 √
2
0(
2
0 1)
②直线 的斜率 0 = = 2 = ( ≠ √ 2)， 0 4 0 1 2
2 0
0 4
0
2 0
2 √ (2 )(1 )令 = 2 0，则 ∈ [ 2,0) (0,1)，所以 = ，
1 1
当 ∈ (0,1)时， = √ 2( )
2 3( ) + 1 > 0，

1 1
当 ∈ [ 2,0)时， = √ 2( )2 3( ) + 1 ≤ √ 3，
所以直线 的斜率取值范围为( ∞, √ 3] (0，+∞).
19.【答案】解：(1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，
| | = √ 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = √ 55，| | = √ 5，
· 15 3√ 11
所以cos < ， >= = = ，
| |·| | √ 55×√ 5 11
3√ 11
所以向量 ， 的夹角的余弦值为 ．
11
(2)由 = + + + += ( + + , 2 + 2 + 2 , 3 + 3 + 3 , 4 + 4 + 4 );
设 = (1,1,1,1)，
则有 = ( + + ) + (2 + 2 + 2 ) + (3 + 3 + 3 ) + (4 + 4 + 4 ) = 6 + 7 + 8 + 9 = 1，
由 = | | | |cos , | | | |，
得2| | ≥ 1，
故|
1
|的最小值为 ;
2
1 13 7 11
当且仅当 = ， = ， = ， = 时取等．
9 144 144 144
(3)解法1:设 1 = ( 1, 2,···, )， 2 = (1,1,··· ,1)， 3 = (1,2,···, )，
|∑ =1 | | 1 · = 2
|
，表示向量 2 在 1 上投影向量的模．
√ ∑ 2
| 1 |
=1
下求该投影向量模的最大值，
设以 3 为法向量的“平面”为 ，
因为 3 1 = 0，所以 1 在“平面” 内，
设 2 与“平面” 夹角为 ，
向量 2 在 1 上投影向量模的最大值为 2 在“平面” 投影| 2 |cos ，
2 · 1+2+···+ √ 6 +1故sin = |cos < 2 ， 3 > | =
3 = = √ ，
| 2 |·| 3 | √ 12+12+···+12
2 2 +1
√ 12+22+···+ 2
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2 3 +3 1 1 ( 1)cos = 1 = ，所以| 2 |cos = √ √ = √ ， 4 +2 4 +2 4 +2 4 +2
|∑
故 =1
| ( 1)的最大值为√ ．
4 +2
√ ∑ =1
2

解法2:因为∑ = 0，所以∑ = ∑ =1 =1 =1( 1 ) 对任意 ∈ 恒成立，
3
取 = ，
2 +1
由| ∑ =1 | = |∑

=1( 1 ) | ≤ √ ∑

=1( 1 )
2 √ ∑ =1
2
，
|∑ =1 1| 2 ( +1) 2 ( +1)( +1) ( 1)得 ≤ √ ∑ =1( 1 ) = √ 2 + [ ] = √ ，
2 2 6 4 +2√ ∑ =1 2
3
当且仅当 = 1 时取等号， 2 +1
∑
故 =1
1 ( 1)的最大值为√ ．
4 +2
√ ∑ 2 =1
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