6.2.1 排列 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
6.2.1 排列
第 六 章 计 数 原 理
1．理解并掌握排列的概念．(数学抽象)
2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(逻辑推理)
说一说：在甲、乙、丙三人中选出两人站成一排进行拍照，有哪些站法呢？
甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙
这里我们可以说它们是一样的吗
丙
甲
乙
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法
此时, 要完成的一件事情是选出2名同学参加活动, 1名参上午的活动, 另1名参加下午的活动, 可以分两个步骤.
上午
下午
相应的排法
甲
乙
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
共6种不同选法
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素, 于是问题1就可叙述为：
从3个不同的元素a, b, c中任取2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
不同的排列方法种数为 3×2=6.
所有不同的排列是：ab,ac,ba,bc,ca,cb
思考1：问题1中的顺序是什么？
问题1的顺序为参加活动的顺序，即参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后.
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
根据分步乘法计数原理, 从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3数字, 按“百位、十位、个位”的顺序排成一个三位数，共可得到24个不同的三位数，如图所示.
百位
十位
个位
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
由此可写出所有的三位数：
同样，问题2可以归结为：
a b c, a b d, a c b, a c d, a d b, a d c;
b a c, b a d, b c a, b c d, b d a, b d c;
c a b, c a d, c b a, c b d, c d a, c d b;
d a b, d a c, d b a, d b c, d c a, d c b.
从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
不排列方法种数 4×3×2=24 .
思考2：问题2中的顺序是什么？
问题2的顺序为百位在前，十位居中，个位在后.
思考3 ：问题1、2 的共同特点是 你能将它们推广到一般情形吗
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.
一般地 , 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素, 并按照一定的顺序排成一列 , 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.
注意：定义中包含两个基本内容：
①取出元素
②按照一定的顺序排列
判断一个问题是否是排列的标志
排列的定义：
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是: ①两个排列的元素完全相同，
例如, 在问题1中, “甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同, 它们是不同的排列;
“甲乙”与“乙甲”元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.
又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；
123与132元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.
相同排列：
②元素的排列顺序也相同.
例1.判断下列问题是否为排列问题.
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
（2）选2个小组分别去植树和种菜；
（3）选2个小组去种菜；
（4）选10人组成一个学习小组；
（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
（6）某班40名学生在假期相互通信.
（2）（5）（6）属于排列问题,（1）（3）（4）不属于排列问题.
解：（1）虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题.
（5）中每个人的职务不同，存在顺序问题，属于排列问题.
（6） 给 写信与 给 写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题.
综上，（2）（5）（6）属于排列问题,（1）（3）（4）不属于排列问题.
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.
这就说明，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题.
方法归纳
例2.(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，可以组成哪些两位数？一共可以组成多少个？
(2)从装有红、黄、蓝、白、黑五个球的袋子里取出三个球，分别给甲、乙、丙三人，共有多少种分配的方法？
你能用列举法列出问题1的所有结果吗
用“树状图”解决简单的排列问题：
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
方法归纳
练习：北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票
解：是排列问题；
列出每一个起点和终点的情况，如图所示.
这个问题是排列问题吗
故应该有12种机票.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
例3.某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
6×5=30.
例4.(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；
解: （1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.
5×4×3=60.
按分步乘法计数原理, 不同的取法种数为：
分析：而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.
（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种；有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.
按分步乘法计数原理，不同的选法种数为：
5×5×5=125.
解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数. ．
方法归纳
回顾本节知识，完成以下问题：
1．如何理解排列的定义？
无重复性，有顺序性．
2．两个排列相同的充要条件是什么？
　元素完全相同且元素的排列顺序相同．