6.3.1二项式定理 课件（共26张PPT）

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6.3.1 二项式定理
第 六 章 计 数 原 理
1.能用多项式法则和计数原理推导二项式定理，会用二项式定理
求解二项展开式.
2.理解二项式定理，会利用定理解决与二项式有关的简单问题.
想一想：你还记得什么是二项式吗？
对于a+b,(a+b) ,(a+b) ,(a+b) 等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：(a+b)n (n∈N*).
在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，二项式定理研究的是(a+b)n展开后的表达式的一般结构.那么(a+b)n 的展开式是什么呢
(a+b)2
(a+b)3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的各项是什么呢？
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= a2 +2ab+b2
我们先来展开下面的式子：
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.
考虑b:
每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
对(a+b)2展开式的分析：
a3
以(a+b)3为例体会组合思想
(a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3
(a+b)3
(a+b)(a+b)(a+b)
a2b
a2b
a2b
ab2
ab2
ab2
b3
a3
a2b
ab2
b3
展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到.
发现：
(a+b)3=a3+3ab2+3a2b+b3
(a+b)(a+b)(a+b)
各项是关于a,b的三次单项式
a3
a2b
ab2
b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
(1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？
(2)各项前的系数代表着什么？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数
问题:
每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
则 (a+b)4 ＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(3)你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4
(a+b)n=
二项式定理
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0
恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1
恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2
......
恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk
......
恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn
(a+b)n=+b+...++...+(n∈N*)
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1；
Cnk ： 二项式系数.
①二项展开式共有n+1项
②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.
如(1+x)n = Cn0 + Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnk xk +…+ xn
注意：
二项式定理
(a+b)n=+b+...++...+(n∈N*)
例1
解：
（1）(x+)6=++++++
=x6+6x4+15x2+20+15++
（2）(-)6=()6
例2
求(1+2x)7的展开式的第4项.
求：（1）第4项的二项式系数.
（2）第4项的系数.
解：
(1+2x)7的展开式的第4项是
T3+1=C73 17-3 (2x)3 =35×23×x3 =280x3
第4项的二项式系数是C73 =35
第4项的系数是280
方法归纳
(1)注意对二项式定理的灵活应用；
(2)注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数：Cnr；
项的系数：二项式系数与数字系数的积
(3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开.
例3 (多选)在 的展开式中，下列说法正确的是(　　)
A.展开式中各项的通项为Tr＋1＝
B.展开式中各项的系数等于其二项式系数
C.x的幂指数是整数的项共有5项
D.展开式中存在常数项
当r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项，C正确.
求二项展开式的特定项的常见题型：
①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1；
②求含xk的项(或 xpyq 的项)；
③求常数项；
④求有理项．
方法：根据通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，建立方程求k，再将k的值
代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
方法归纳
1. 求（x+a)12的展开式中的倒数第4项.
解：
（1）(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项
2. 求(+)9的展开式常数项、中间两项
T9+1==220
（2）Tr+1==
由=0得r=6.
T7==2268
T5=T4+1==42x3
T6=T5+1==42
1）注意二项式定理中二项展开式的特征；
2）区别二项式系数，项的系数；
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项.
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