山东省菏泽市2025届高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

山东省菏泽市2025届高三上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，命题，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.圆与圆的位置关系为( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离
4.已知为内部一点，，设，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，分别为抛物线，的焦点，平行于轴的直线与，分别交于，两点，且，则四边形为( )
A. 任意不规则的四边形 B. 直角梯形
C. 等腰梯形 D. 平行四边形
7.设甲：乙：函数在区间上有唯一极值点，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知某圆锥的高为，且该圆锥的顶点和底面圆周上的各点均在半径为的球的表面上，则当圆锥的侧面展开图的圆心角与轴截面的顶角之差取得最大值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. 有可能为实数
B. 不可能为纯虚数
C. 的最小值为
D. 若在复平面内所对应的点在第三象限，则
10.已知函数，的定义域均为，且，，则下列选项一定正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上不同于长轴端点的一点，记的外接圆为，当最大时，为等边三角形，则( )
A. 的离心率为
B. 若的圆心在外，则
C. 若，则的面积为
D. 若，则的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知递增数列的通项公式为，则的取值范围为 ．
13.已知函数，则 ．
14.已知，为曲线上两个不同的点，过，分别作的两条切线，若这两条切线交于点且这两条切线的斜率之积为，则当取得最小值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为首项为的数列的前项和，且是以首项为，公比为的等比数列．
求
求数列的通项公式
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，四棱锥中，是等边三角形，，，，为中点，为中点．
证明：平面平面
若，平面平面，求与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
如图，平面四边形中，，，平分．
若，，求
若，
(ⅰ)求
(ⅱ)求．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间
当时，求曲线的对称中心
当时，，求的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线，，为上不与左、右顶点重合的两点，记直线的斜率为中点为．
当直线斜率存在时，求用，表示
记在点处切线的斜率为，在点处切线的斜率为，证明：，，依次构成等差数列的充要条件为．
参考公式：若点在双曲线上，则在处的切线方程为．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，则，则．
，当时，，经检验时，同样成立，
故．
由可得，记的前项和为，
所以．
则．
得，，
则，
故数列的前项和为．
16.证明：因为在中，为的中点，为中点，所以，而平面，平面，
所以平面因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，而平面，平面，所以平面，又，，平面，
所以平面平面．
如图，连接易得因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，，所以．
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，所以，令，则，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面所成的角的正弦值为．
17.解：由题意可知平分，因此．
则，，
而，
故在中，由余弦定理可得．
设，则设，则，．
由余弦定理可得，解得，．
(ⅱ)由于在直角三角形中为锐角，则，，，
故．
18.解：当时，，，
令，得，，
令，得，，
所以的单调递增区间为，，
单调递减区间为，．
当时，，设曲线的对称中心为，
则，
所以解得，所以曲线的对称中心为．
当时，在上恒成立，满足题意
当时，，
当时，，所以在上单调递增，，满足题意
当，时，令，，所以在上单调递增，
又因为，，
所以存在，使得，
当时，，单调递减，所以，不符合题意．
综上所述：的取值范围为．
19.解：显然，存在，显然，又直线斜率存在，故，
则，不关于轴对称即直线斜率存在，故AB不过坐标原点，则，不关于原点对称，
即由题可知，，故，
由，在双曲线上，故，，
两式相减可得，
故，则．
先证明充分性：即时，，，依次构成等差数列：
当斜率存在时，即，显然不满足，故斜率不存在即与轴重合，则轴，，
由双曲线关于轴对称可知，，故，，依次构成等差数列．
再证明必要性：即，，依次构成等差数列时，
当过原点时，由对称性可知，而显然不为的切线，故，，，不依次构成等差数列，
则不过原点，由得，
由题意可知在处的切线方程为，即，故，
同理可得，
由，，依次构成等差数列，即，
即，由得，即，
化简得，
设直线，且，
则，即，
即，得，此时，且，关于轴对称，故在轴上，则．
故，，依次构成等差数列的充要条件为．
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