河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试卷（含答案）

河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则的子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.设向量，，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用，表示第一次和第二次抛掷的点数，则( )
A. B. C. D.
5.若，是函数两个相邻的最值点，则等于( )
A. B. C. D.
6.关于函数，下列结论错误的是( )
A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小正周期为 D. 函数的最小值为
7.如图，直四棱柱，点，，分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，对，，使得成立下列结论正确的是( )
A. ，使得
B. 函数的最大值为
C. 的取值范围为
D. 过作的切线，有且只有一条
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量X~B(9,),则D(3X+1)=18
B. 将总体划分为2层,通过分层随机抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为,和,,若=,则总体方差=(+)
C. 某物理量的测量结果服从正态分布N(10, ),越大,该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大
D. 已知某4个数据的平均数为5,方差为3,现又加入一个数据5,此时这5个数据的方差为2.4
10.已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于，，，四点，为弦的中点，下列结论正确的是( )
A. 长度的最大值为
B. 线段长度的最小值为
C. 点的轨迹是一个圆
D. 四边形面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为 ．
13.已知正方形的边长为，，分别为，上的点，当的周长为时，面积的最大值为 ．
14.甲、乙两人各有张卡片，每张卡片上分别标有，，，四个数字之一两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边为，，，已知，B.
Ⅰ求
Ⅱ设，求边上的高．
16.本小题分
已知两定点，，动点满足
Ⅰ求点的轨迹方程
Ⅱ过的直线与动点的轨迹交于两点，，与直线交于点，设为坐标原点，若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在斜三棱柱中，为的中点，底面为等腰直角三角形，且．
Ⅰ若在底面内的射影为点，求点到平面的距离
Ⅱ若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数且，关于对称的函数记为．
Ⅰ若，方程有且只有一个实数解，求的值
Ⅱ讨论方程在上实数解的个数
Ⅲ若，设函数，若，求的取值范围．
19.本小题分
如果数列满足，为常数，，，则称数列为数列，已知项数为的数列的所有项的和为，且为数列．
Ⅰ若，，，写出所有可能的的值
Ⅱ若，，证明：“”是“数列为递增数列”的充要条件
Ⅲ若，，证明：若，则或，
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：在中，
，，
而为三角形内角，．
，
，
整理得，得，
又，且，．
由正弦定理得，得，
由得，，，
，
设边上的高为，则，
边上的高为．
16.【答案】解：依题意知，，
点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且焦点在轴上，
设椭圆方程为，
由，，得，，，
故所求点的轨迹方程为．
依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为，
设，，
联立，消得，，
可得：，，
由，，，
，整理得，
由得，，代入，解得，
直线的方程为或．
17.【答案】解：如图，取的中点，连接．
为等腰三角形，，，
又在底面内的射影为点，
面，，
又，且面
面，
即为点到平面的距离．
又为等腰直角三角形，且
．
点到平面的距离为；
如图，
取的中点，连接，，
在底面内的射影为的中点，
面．
为等腰三角形，，．
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，由得，
设平面的一个法向量为，由得，
则，，平面与平面夹角的余弦值为．
18.【答案】解：关于对称的函数为，，
设与有公共点，由对称性可知，在上，
，，
，解得，得
由知，，由，
两边同取对数，，即．
令，，
函数在上单调递增，在上单调递减．
当，方程在上实数解的个数为个．
当，，方程在上实数解的个数为个．
当，方程在上实数解的个数为个
，定义域为，求导得，
又，
，
整理得，由基本不等式得，，
，
设，则，
易知，
在单调递增，
，
的取值范围为
19.【答案】解：依题意可知有如下三种情况：
若，，，，此时，
若，，，，此时，
若，，，，此时．
证明：
必要性：因为，
所以，故数列为等差数列，公差为，
所以，必要性成立
充分性：由于，，，，
累加可得，，
即，
因为，
故上述不等式的每个等号都取到，
所以，
即，充分性成立．
综上所述，“”是“数列为递增数列”的充要条件
证明：令，
依题意，，
因为，，，，
所以
，
因为，所以为偶数，
所以为偶数
所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或，
当时，比如，，，，
或，，时，有，
当时，比如，，，，
或，，，，有，
当或时，不能被整除，
第1页，共1页