湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数满足，则
A. B. C. D.
3.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为
A. B. C. 或 D. 不能确定
4.已知等差数列的前项和为，且，则
A. B. C. D.
5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为
A. B. C. D.
6.已知函数在与上的最小值均为，最大值也相同，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量，，，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某射击运动员在一次训练中一共进行了次射击，成绩依次为，，，，，，，，，单位：环，则下列说法中正确的是
A. 这组数的众数为 B. 这组数的第百分位数为
C. 若每个数都减去，则这组数的均值也会减去 D. 若每个数都乘以，则这组数的方差也会乘以
10.已知函数，则
A. B. 若函数单调递增，则
C. 当时，函数的图象关于点中心对称 D. 若存在，使得，则的最大值是
11.已知非常数数列，其前项和为，若，，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的是
A. 数列，，，，，是包容数列
B. 任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数
C. 若一个包容数列从第项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则的最小值为
D. 由，，三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中只有第项的系数最大，则 ．
13.已知随机变量，均服从分布，若，且，则 ．
14.设圆与抛物线交于点，为圆的直径，过点的直线与抛物线交于不同于点的两个点，，则直线与的斜率之积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，点为线段的中点，，满足．
求；
若的面积为，，求中线的长．
16.本小题分
如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，．
已知为的中点，求证：平面；
若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
当时，，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，焦距为，点，分别为的左、右顶点，点，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记．
求椭圆的方程；
若，求证直线过定点，并求出该点的坐标；
若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围．
19.本小题分
有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着，，，，，将它们背面朝上随机放在桌子上不叠放，翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上翻回不计入次数并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止．
求第三次恰好翻开数字为的卡片且不再翻回的概率；
记为需要翻开的次数，求的分布列及数学期望；
将卡片数量改为张，并依次写上数字，，，，，记为翻开这些卡片需要的平均次数，求证：．
附：数学期望具有线性可加性，即．
参考答案
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15.解：因为，所以，C.
又因为．
所以，，得，
所以，由余弦定理得，
又为三角形内角，
所以，．
因为的面积为，，，
所以，，所以，又，
因为为的中线，所以，，
所以，，
所以，．
16.【解答】
证明：
取的中点，连接、，因为为中点，所以，，
因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，故BG平面；
解：因为平面，四边形为直角梯形，，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
直线与平面所成的角为，有，设，，
则，，，，所以，，，
设平面的法向量为，所以，即
令，则，，所以，
所以，，所以，即，
因为，所以点到平面的距离．
17.解：当时，，
则，
令，解得或，
当或时，
当或时，．
所以在，单调递增，在，单调递减．
因为时，，
所以，得，
即，
令，
则，
令，且在上单调递增，且，
所以，当时，，即当时，，即．
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以，故．
18.解：由题意知，，，又，，，
所以椭圆的方程为：．
证明：由知，，由图形对称性可知，定点在轴上，
设直线方程为：，，，，
，解得，
即定点坐标为．
设直线的方程为，，
联立可得，
则，，且
于是
，
，，即的范围是．
19.解：前两次一定会翻到，否则第三次翻到也会被翻回，
故分两种情况：如果第一张翻出了，那么第二次一定不能翻，
因此
如果第二张翻出了，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了并翻回，
为了保证最优解，在第三次翻卡片时必须把翻开
另一种情况是第一张没有翻出，第三张恰好翻到，
因此．
所以．
根据题意可以推断出下面两点：
首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，
因此第二次翻开它时并非随机事件
其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片就需要被翻两次．
可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，
从左往右依次翻开卡片，遇到不符合顺序的进行调整，
因此需要翻开的次数可取，，，，，
当时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片，
因此，；
当时，点数为的扑克卡片恰好全部在之前翻开，
因此，；
当时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了，
因此，；
当时，有三张卡片错误地翻开了，
因此，；
当时，可以继续用插空法，亦可以利用排除法，
因此，
列出分布列有
因此次．
基于第二问的思考，这实际上是对知晓卡片点数的顺序进行排列，
当有张卡片时，值得注意的是写有数字的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次，
如果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，
记为需要翻开写有点数的纸卡片的次数．
因此，，
所以，
于是，
而，于是，
故E，
当，时上式等号成立，于是得证．
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