湖南省娄底市高三上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

湖南省娄底市高三上学期1月期末教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
5.在中，点在边上，且，设，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，是的中点，二面角的大小为则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 且 B. 且 C. D.
8.已知点是拋物线：的焦点，点是拋物线上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，且分别交抛物线的准线于，两点，，位于轴异侧如下图所示若，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则关于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象关于点对称
C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递减
10.设，是一次随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. ，相互独立 B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集．若函数在上的不动点集为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在点处的切线方程为__________．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为________．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其中，直线与椭圆交于，两点，记的面积为，若时，，则椭圆的离心率的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足：，
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，若，求证：．
16.本小题分
为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表：
若学生得分不低于分，则认为基本技能优秀，得分低于分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取名学生进行问卷调研，然后再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈调研，记取出的人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：
，．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，为边上异于，两点的动点，平面与边交于点．
请判断四边形的形状，并说明理由；
已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知函数，．
证明：函数与的图象关于直线对称；
设．
(ⅰ)判断函数的单调性；
(ⅱ)证明：，．
19.本小题分
已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线的右支上一点，若，双曲线的离心率为．
求双曲线的标准方程；
设，分别是双曲线的左、右顶点，平行轴的直线交双曲线于，异于，两点．直线与直线交于点，求交点的轨迹的方程；
过点且斜率为的直线交第问的轨迹于，不在坐标轴上两点，点是轨迹上一点，满足轴，直线，分别交直线于点，，其中为坐标原点，记，，求的最小值．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
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14.
15.解：因为，
所以当时，，，，，
上述各式相加得，
又，所以，
又满足上式，故
由得，
所以，
所以数列的前项和，
即．
16.解：根据题意得如下列联表：
零假设该校学生的基本技能与性别无关联，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
由题意知，随机抽取进行问卷调查的名学生中，女生名，男生名，
所以随机变量的可能取值有，，，
故，
，
，故的分布列如下，
．
17.解：四边形是平行四边形理由如下：
在三棱柱中，，
又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，所以．
又平面平面，平面平面，平面平面，
所以E.
所以四边形为平行四边形．
取的中点，连接，
在中，因为，所以，
因为侧面底面，底面侧面，底面，所以平面，
又侧面，所以．
在中，由，，可知，
在中，因为，，
所以，
所以，所以，
从而，，两两垂直，以为原点，
以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角，
则，，，，．
所以，．
设平面的法向量为，
则
令，得，
又，
设直线与平面所成角为，且，
则，
，
所以直线与平面所成角的大小为．

18.解：设点为函数上任一点，
又点关于直线对称的点为，
因为，所以，
所以点在函数的图象上．
设点为函数上任意一点，
又点关于直线对称的点为，
因为，所以，
所以点在函数的图象上．
综上可得，函数的图象与的图象关于直线对称
由已知，
得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，
则单调递增．
根据题意知
，
当时，令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，则在上单调递增，
则，
所以，
即，．
19.解：因为是双曲线的右支上一点，且，
所以，
又双曲线的离心率为，
即，得，
所以，
所以双曲线的标准方程为．
由得双曲线的方程为，
设，，则，
又，，
则，，
由，，三点共线得：
又，，
由，，三点共线得：，
所以，，
因为，所以，
即，得，
所以直线与直线的交点的轨迹的方程为．
由已知可设直线的方程为，，设，，
联立化简可得，
所以，
所以，，
，
，
又直线的方程为，与直线联立可得，
所以，
直线的方程为，与直线联立可得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
又
，
，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
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