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题型专练03 二次根式的加减（5大题型）
题型目录
题型一 同类二次根式
题型二 二次根式的加减法
题型三 二次根式的混合运算
题型四 二次根式的化简求值
题型五 二次根式的应用
题型分类
题型一 同类二次根式
1．下列各根式中，与不是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【解析】、，与是同类二次根式，不符合题意；
、，与是同类二次根式，不符合题意；
、，与不是同类二次根式，符合题意；
、，与是同类二次根式，不符合题意；
故选．
2．下列各组二次根式中，属同类二次根式的是
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】
【分析】将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可．
【解析】、与不是同类二次根式，该选项不合题意；
、，与不是同类二次根式，该选项不合题意；
、，，是同类二次根式，该选项符合题意；
、，，不是同类二次根式，该选项不合题意；
故选．
3．根式中，与是同类二次根式的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
【解析】，，，，，
与是同类二次根的有，共1个，
故选．
4．若与最简二次根式能合并，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．17
【答案】
【分析】根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案．
【解析】，且他与最简二次根式能合并，
与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故选．
5．若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可．
【解析】根据题意可知，与是同类二次根式，
可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
6．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
【分析】利用同类二次根式的意义得到关于的方程，解方程即可得出结论．
【解析】最简二次根式与是同类二次根式，
，
．
故答案为：．
7．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则 2 ．
【答案】2．
【分析】根据题意可得最简二次根式和是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出答案．
【解析】最简二次根式和是可以合并的二次根式，
，
．
故答案为：2．
8．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】先根据同类二次根式的定义得出，即可求出的值，再根据二次根式有意义的条件得出，即可求出的取值范围．
【解析】由题意得，，
解得，
所以为，
若其有意义，
则，
解得，
故答案为：．
9．若最简根式和是同类二次根式，则的平方根是 ．
【答案】．
【分析】根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可．
【解析】由题意，得：，
解得：，
的平方根为；
故答案为：．
10．如果最简二次根式与能进行合并，且，化简：．
【答案】4．
【分析】先根据最简二次根式与能进行合并得出，求出，，再根据当时，，不符合题意，得出，根据，将进行化简即可．
【解析】由题意，得，
解得，．
当时，，
，
，
，，
原式．
11．已知最简二次根式与可以合并，，求代数式的值．
【答案】．
【分析】由同类二次根式的定义和非负数的性质得出 ①， ②， ③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得．
【解析】最简二次根式与可以合并，，
且、，
则 ①， ②， ③，
将①、②代入③，得：，
解得：，
、，
．
12．定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
【答案】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见解答．
【分析】根据同类二次根式的定义可得：，从而可得：，然后进行计算即可解答．
【解析】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，
理由：最简二次根式与可以合并，
，
解得：，
，
，
与是关于4的和谐二次根式．
13．已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；②求与的乘积．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数即可求出的取值范围；
（2）①先化简，再根据同类二次根式的定义即可求出的值；
②由①得出这两个二次根式，再求它们的积即可．
【解析】（1）二次根式有意义，
，
解得；
（2）①，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
②由①可得，
．
14．小贤和小明同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数．
（1）如图1，若小贤摸到如下两个小球，请计算出结果；
（2）如图2，若小贤摸出全部的球，计算结果为，小明说的值能与合并．你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可；
（2）求出的值，再将化简后，判断是否是同类二次根式即可．
【解析】（1）由题意得：
；
（2）小明的说法正确，理由：由题意得，
，
，
的值与是同类二次根式，可以合并运算．
题型二 二次根式的加减法
15．计算：
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】原式．
故选．
16．若，则
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】
【分析】根据题意得到，进而求解即可．
【解析】，
，
．
故选．
17．若，则和的值不可能是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可得到结论．
【解析】．当，时，，故选项不符合题意；
．当，时，，故选项不符合题意；
．当，时，，故选项不符合题意；
．当，时，，故选项符合题意．
故选．
18．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的加减法运算法则进行计算．
【解析】．，原计算错误，不符合题意；
．不能合并，原计算错误，不符合题意；
．不能合并，原计算错误，不符合题意；
．，计算正确，符合题意．
故选．
19．计算 ．
【答案】．
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．
【解析】；
故答案为：．
20．计算：．
【答案】．
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可．
【解析】
．
21．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接根据二次根式的加减法则计算即可；
（2）先化简二次根式，再计算加减即可．
【解析】（1）原式；
（2）原式
．
22．（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则，即可求解；
（2）先化简二次根式，即可求解．
【解析】解（1）
；
（2）
．
23．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
25．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，．
（1）化简；
（2）当，时，求的值．
【分析】（1）由数轴可得，，从而得出，，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解．
【解析】（1）由题意可知，，，
，，
；
（2）由（1）知，，
，，
．
26．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 是关于1的平衡数；与 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；
（2）根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案；
（3）根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可．
【解析】（1）由题意得，，，
与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数；
故答案为：，；
（2）与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数，
，
解得；
（3）不是，
，
又，
，
，
即，
，
，
与不是关于1的平衡数．
题型三 二次根式的混合运算
27．下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质化简计算判断即可．
【解析】、2与，不是同类二次根式，不能合并，本选项错误不符合题意；
、，本选项正确符合题意；
、，本选项错误不符合题意；
、，本选项错误不符合题意．
故选．
28．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的除法对选项进行判断．
【解析】与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
，所以选项不符合题意；
，所以选项不符合题意．
故选．
29．在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】分别添加各符号计算后进行判断即可．
【解析】，结果不是有理数，则，不符合题意；
，结果不是有理数，则不符合题意；
，结果，是有理数，，结果是有理数，则符合题意；
故选．
30．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是
A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮
【答案】
【分析】根据二次根式的运算法则，对每步算式进行计算即可．
【解析】因为，
所以小明没有出现错误．
因为，
所以小丽出现错误．
因为，
所以小红出现错误．
因为，
所以小亮没有出现错误．
故选．
31．计算： ．
【答案】．
【分析】先化简二次根式、计算零指数幂，然后计算加减法．
【解析】
．
故答案为：．
32．计算的结果为 ．
【答案】．
【分析】应用乘法分配律，求出计算的结果为多少即可．
【解析】
．
故答案为：．
33．化简 ．
【答案】．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案即可，正确化简二次根式是解题关键．
【解析】原式
，
故答案为：．
34．数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 ③⑤ （填序号）．
【答案】③⑤．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式混合运算的法则进行计算即可，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
【解析】①，原计算错误，不符合题意；
②与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
③，正确，符合题意；
④，原计算错误，不符合题意；
⑤，正确，符合题意，
正确的有2个，分别是③⑤，
故答案为：③⑤．
35．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：※，如5※，那么※※ ．
【答案】．
【分析】根据新定义运算法则先计算7※5，再根据新定义运算法则计算※即可．
【解析】※※
※
※
※
※
，
故答案为：．
36．已知，，则的平方根为 ．
【答案】．
【分析】根据，，可以求得、的值，然后即可求得的平方根．
【解析】，
，
，
，
解得，
，
，，，
解得，
，
，
故答案为：．
37．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算（1）、（2）、（3）、（4）即可．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
38．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；
（2）先计算乘除，再计算加减．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
题型四 二次根式的化简求值
39．当时，代数式的值是
A．1 B．2 C． D．
【答案】．
【分析】先把的值代入中，然后利用完全平方公式计算．
【解析】当时，
．
故选．
40．已知，则代数式的值为
A．2 B．4 C． D．
【答案】
【分析】先把化成，再把代入计算即可．
【解析】当时，
，
．
故选．
41．已知，，则代数式的值为
A． B． C．3 D．
【答案】
【分析】先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可
【解析】，，
，，
，
故选．
42．设，其中，，则的值为
A．2 B． C．1 D．
【答案】
【分析】先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算．
【解析】
，
当，时，
，
故选．
43．设，则代数式的值是
A． B． C．33 D．35
【答案】
【分析】利用完全平方公式把含的等式变形，再根据多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算得到答案．
【解析】，
，
，
，即，
，
则原式，
故选．
44．已知，为实数，，那么的值为
A． B． C． D．5
【答案】
【分析】方法一：先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．
方法二：可以先求的平方，然后再开方求值即可．
【解析】方法一：
，
，为实数，，
、同号，
当，时，
原式，
当，时，
原式，
由上可得，的值是，
故选．
方法二：
，
当时，，
，
，
故选．
45．若的整数部分为，小数部分为，则的值是
A． B．3 C． D．
【答案】
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解析】
，
的整数部分，
则小数部分是：，
，
则
．
故选．
46．已知，则代数式的值为 13 ．
【答案】13．
【分析】先表示出的值，再将代数式利用完全平方公式进行变形为，再将数值代入即可求出结果．
【解析】，
．
．
故答案为：13．
47．若，那么的值为 ．
【答案】-2．
【分析】利用完全平方公式将变形为，再代入的值进行运算求值即可得．
【解析】原式
．
故答案为：．
48．已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据题意得出与的值，代入代数式进行计算即可；
（2）根据（1）中出与的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】（1），
；，
原式；
（2）由（1）知，，，
原式．
49．已知．
（1）若．
①直接写出的值为 1 ；
②求的值；
③求的值．
（2）若，求的最小值．
【分析】（1）①根据二次根式的乘法计算法则计算即可；
（1）②根据二次根式的加法计算法则计算即可；
（2）根据二次根式的性质和二次根式的加法计算法则计算即可．
【解析】因为，
所以，，
（1）因为，
所以有：，，
①；
②
；
③
．
（2）因为，，
，，
因为，所以，
，
因为，
所以，
答：式子的最小值是．
50．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（2）先分母有理化得到，再变形为，则两边平方可得，接着用表示出，则利用降次的方法得到原式，然后把的值代入计算即可．
【解析】（1）原式
；
（2），
，
，
即，
，
，
原式．
51．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得．
，
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简（结果保留．
【类比迁移】
（2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知，，为△的三边长．化简：．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质计算；
（2）根据数轴确定、的符号，再根据二次根式的性质计算；
（3）根据三角形的三边关系得到，，，，再根据二次根式的性质、合并同类项计算．
【解析】（1）隐含条件，
解得：，
，
则原式；
（2）由数轴得隐含条件：，，，
，；
；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：，，，，
，，，
．
题型五 二次根式的应用
52．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为
A．2 B． C． D．
【答案】．
【分析】先表示出三个正方形的面积，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积可得到图中阴影部分的面积．
【解析】三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积
．
故选．
53．已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为
A． B．
C． D．或
【答案】
【分析】先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长．
【解析】
只能是腰长为
等腰三角形的周长．
故选．
54．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．
【解析】由题意得：，
故选．
55．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知△的三边长分别为，，，则△的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题．
【解析】，且，，，
，，，
，
故选．
56．如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为96
【答案】
【分析】根据图形特征、长方形的面积周长公式以及二次根式的混合运算，进行逐项分析，即可作答．
【解析】解：、小长方形的长为，宽为，，故该选项不符合题意；
、小长方形的长为，宽为，，故该选项不符合题意；
、大长方形的长为，大长方形的宽为，，故该选项符合题意；
、大长方形的长为，大长方形的宽为，，故该选项不符合题意；
故选．
57．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为 ．
【答案】．
【分析】根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解析】，
答：该长方形的宽为，
故答案为：．
58．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25．
（1）大正方形的边长是 5 ，小正方形的边长是 ．
（2）求图中阴影部分的周长．
【分析】（1）根据题意可得小正方形边长为，大正方形边长为5，即可求解；
（2）根据大小正方形的边长为和5，列式即可求解．
【解析】（1）大正方形的面积为25，小正方形的面积为18，
大正方形边长为，小正方形边长为，
故答案为：5，；
（2）大正方形边长为5，小正方形边长为，
阴影部分的周长．
59．2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为、宽为．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：
【分析】（1）根据长方形的周长（长宽），可以解答本题；
（2）根据长方形的面积长宽和造价为每平方米2元的草坪，可以求得在该长方形土地上全部种植草坪的总费用．
【解析】（1）由题意可得，
该长方形土地的周长是：，
即该长方形土地的周长是；
（2）由题意可得，
在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：（元，
即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．
60．【观察发现】
．
；
，
．
【初步探索】
（1）化简： ；
（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
（3）若，且，均为正整数，求的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）
型号 长 宽 高
型
型
型
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可；
（3）将所给式子两边平方求解即可；
（4）先判断，两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可．
【解析】（1），
故答案为：；
（2）由题意可知：
，
，，，均为正整数，
，，
故答案为：，；
（3），
，
，
，
；
（4）底面积的饰品盒底面边长为，
底面积的饰品盒底面边长为，
，，
，都符合条件．
型号的体积为：，
型号的体积为：，
，
所以选择型号包．中小学教育资源及组卷应用平台
题型专练03 二次根式的加减（5大题型）
题型目录
题型一 同类二次根式
题型二 二次根式的加减法
题型三 二次根式的混合运算
题型四 二次根式的化简求值
题型五 二次根式的应用
题型分类
题型一 同类二次根式
1．下列各根式中，与不是同类二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列各组二次根式中，属同类二次根式的是
A．与 B．与 C．与 D．与
3．根式中，与是同类二次根式的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若与最简二次根式能合并，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．17
5．若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ．
6．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
7．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则 ．
8．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的的取值范围是 ．
9．若最简根式和是同类二次根式，则的平方根是 ．
10．如果最简二次根式与能进行合并，且，化简：．
11．已知最简二次根式与可以合并，，求代数式的值．
12．定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
13．已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；②求与的乘积．
14．小贤和小明同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数．
（1）如图1，若小贤摸到如下两个小球，请计算出结果；
（2）如图2，若小贤摸出全部的球，计算结果为，小明说的值能与合并．你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
题型二 二次根式的加减法
15．计算：
A． B． C． D．
16．若，则
A．6 B．9 C．12 D．18
17．若，则和的值不可能是
A．， B．， C．， D．，
18．下列计算正确的是
A． B． C． D．
19．计算 ．
20．计算：．
21．计算：
（1）；
（2）．
22．（1）计算：；
（2）化简：．
23．计算：
（1）；
（2）．
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
25．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，．
（1）化简；
（2）当，时，求的值．
26．综合与实践
【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数．
【思考尝试】
（1）4与 是关于1的平衡数；与 是关于1的平衡数；
【实践探究】
（2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值；
【拓展延伸】
（3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由．
题型三 二次根式的混合运算
27．下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
28．下列运算正确的是
A． B． C． D．
29．在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为
A． B． C．或 D．或
30．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是
A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮
31．计算： ．
32．计算的结果为 ．
33．化简 ．
34．数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 （填序号）．
35．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：※，如5※，那么※※ ．
36．已知，，则的平方根为 ．
37．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
38．计算：
（1）；
（2）．
题型四 二次根式的化简求值
39．当时，代数式的值是
A．1 B．2 C． D．
40．已知，则代数式的值为
A．2 B．4 C． D．
41．已知，，则代数式的值为
A． B． C．3 D．
42．设，其中，，则的值为
A．2 B． C．1 D．
43．设，则代数式的值是
A． B． C．33 D．35
44．已知，为实数，，那么的值为
A． B． C． D．5
45．若的整数部分为，小数部分为，则的值是
A． B．3 C． D．
46．已知，则代数式的值为 ．
47．若，那么的值为 ．
48．已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
49．已知．
（1）若．
①直接写出的值为 ；
②求的值；
③求的值．
（2）若，求的最小值．
50．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
51．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得．
，
原式．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简（结果保留．
【类比迁移】
（2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知，，为△的三边长．化简：．
题型五 二次根式的应用
52．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为
A．2 B． C． D．
53．已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为
A． B．
C． D．或
54．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为
A． B． C． D．
55．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知△的三边长分别为，，，则△的面积为
A． B． C． D．
56．如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为96
57．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为 ．
58．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25．
（1）大正方形的边长是 ，小正方形的边长是 ．
（2）求图中阴影部分的周长．
59．2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为、宽为．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：
60．【观察发现】
．
；
，
．
【初步探索】
（1）化简： ；
（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ；
（3）若，且，均为正整数，求的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）
型号 长 宽 高
型
型
型
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
