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题型专练02 二次根式的乘除（4大题型）
题型目录
题型一 二次根式的性质与化简
题型二 最简二次根式
题型三 二次根式的乘除法
题型四 分母有理化
题型分类
题型一 二次根式的性质与化简
1．二次根式化成最简结果为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得结果．
【解析】根据二次根式有意义的条件可知：
，
原式．
故选．
2．已知，化简二次根式的正确结果为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定、的取值，最后再化简即可．
【解析】，
，或，，
又有意义，
，
，，
当，时，，
故选．
3．若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】已知等式利用二次根式性质化简，再利用绝对值的代数意义求出的范围即可．
【解析】，
，即，
故选．
4．若，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解析】因为，
所以，
故选．
5．有理数，，在数轴上的位置如图：化简：
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据有理数，，在数轴上的位置可得，且，进而可得，，再根据绝对值、二次根式的性质进行化简即可．
【解析】由有理数，，在数轴上的位置可知，，且，
所以，，
所以原式．
故选．
6．已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据实数，在数轴上的位置判断，的符号，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可．
【解析】由实数，在数轴上的位置可知，，
，，
原式
．
故选．
7．化简： ．
【答案】．
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【解析】，
原式
．
故答案为：．
8．当时，代数式的值是 2 ．
【答案】2．
【分析】先判断，的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】，
，，
，
故答案为：2．
9．已知，那么的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解析】，
，
．
故答案为：．
10．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于 ．
【答案】．
【分析】根据数轴可得，，再利用二次根式的性质进行化简，然后利用绝对值的性质进行计算即可．
【解析】由数轴可得：，，
故
，
故答案为：．
11．已知实数，，在数轴上的位置如图，化简．
【分析】根据数轴上的表示，二次根式的性质，绝对值得性质，可得答案．
【解析】原式
．
12．已知，化简．
【分析】根据题意得到，，，根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．
【解析】，
，，，
．
13．我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
（1）化简： 2 ， ；
（2）若，则的取值范围为 ；
（3）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
【分析】（1）根据题干中给出的二次根式的性质化简即可；
（2）先化简二次根式，再根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出的取值范围；
（3）由数轴得，，进一步得出，，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解析】（1），，
故答案为：2，；
（2），
又，
，
，
，
即的取值范围为，
故答案为：；
（3）由数轴得，，
，，
．
14．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）结合题干思路利用配方法作答即可；
（2）结合题干思路裂项构成完全平方作答即可．
【解析】（1），
；
（2），
．
15．定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）与是关于 1 的共轭二次根式；
（2）若与是关于2的共轭二次根式，则 ．
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列式计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义列式计算即可，需要注意分母有理化；
（3）根据共轭二次根式的定义列式计算即可，需要注意分母有理化．
【解析】（1），
与是关于1的共轭二次根式，
故答案为：1；
（2）与是关于2的共轭二次根式，
，
，
故答案为：；．
（3）与是关于12的共轭二次根式，
，
，
．
16．学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求的值．
甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：
设，两边平方得：
，即，
，
，
，
请你参考上述方法，求的值．
【分析】先设，再两边同时平方，利用完全平方公式计算出的值，在求出，从而进行解答即可．
【解析】设，两边平方得：
，
，
，
，
，
，
．
17．像，．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）若，则 5 ， ．
（2）化简：① ，②
（3）若，且，，为正整数，求的值．
【分析】（1）利用完全平方公式得到，进而可得、的值；
（2）①②模仿题中运算方法和完全平方式的特点，结合二次根式的性质求解即可；
（3）利用完全平方公式得到，然后根据，，为正整数求解即可．
【解析】（1），
，．
故答案为：5，6；
（2）①
；
②
；
（3），
，即，
，，为正整数，
或，
或，
故的值为46或14．
18．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围．
解：原式
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）
所以，的取值范围是
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当时，化简， 3 ．
（2）若等式 成立，则的取值范围是 ．
（3）若，求的取值．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解析】（1），
，，
原式
，
故答案为：3；
（2）由题意可知：，
当时，，，
原方程化为：，
，符合题意；
当时，
，，
，
，故符合题意；
当时，
，，
，
，符合题意；
综上所述，，
故答案为：；
（3）原方程可化为：，
当时，，，
原方程化为：，
，符合题意；
当时，
，，
，
此方程无解，故 不符合题意；
当时，
，，
，
，符合题意；
综上所述，或．
19．综合与实践
在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方公式化成另一式子的平方，如：，．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简，．
（1）请你依上述方法将化成一个式子的平方，并直接写出的值．
（2）化简：．
（3）若且、、均为正整数，则 5或7 ．
【分析】（1）仿照例题的方法，把4分成3与1的和，分成与的积，然后利用完全平方公式即可解答；
（2）根据完全平方公式求出即可；
（3）先根据完全平方公式展开，再求出、的值，再求出即可．
【解析】（1）
，
；
（2）原式
；
（3），
，
，
，，
，，都是正整数，
，或，或，或，，
或7．
故答案为：5或7．
20．阅读材料：
材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：．
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如：．
，
，即．
的最小值为1．
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；
（2）求的最值；
（3）比较和的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方公式将化成，，再由二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据完全平方公式将写成的形式，再根据非负数的性质进行计算即可；
（3）先计算，，进而得出，再得出答案即可．
【解析】（1），
，
；
，
，
，
故答案为：，；
（2）
，
，
，
即有最小值；
（3），
，
，
，
，，而，
，
即．
题型二 最简二次根式
21．下面各式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解析】、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，符合题意；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选．
22．下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【解析】、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、是最简二次根式，故此选项符合题意；
、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选．
23．下列二次根式：中，是最简二次根式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【解析】中是最简二次根式的有，，
故选．
24．写出一个最简二次根式 ．
【答案】．（答案不唯一）
【分析】最简二次根式被开方数是不能含有分母且不能含有能开尽方的因式或数．
【解析】．
25．化为最简二次根式： ．
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解析】，
故答案为：．
26．已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数的值 2（答案不唯一） ．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【解析】当时，，是最简二次根式，
故答案为：2（答案不唯一）．
27．下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【解析】，，，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
故答案为：，．
28．若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是 ．
【答案】．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解析】二次根式是最简二次根式，
，
，
，
取整数值，
当时，二次根式为，不是最简二次根式，不合题意；
当时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；
若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是．
故答案为：．
29．把下列二次根式化为最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据二次根式的性质化简即可；
（3）先将被开方数化为假分数，然后根据二次根式的性质化简即可；
（4）根据二次根式的性质化简即可．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
30．已知、是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【分析】根据最简二次根式的定义得出，，进而求出答案．
【解析】是最简二次根式，
，，
解得：，，
，
的平方根为．
题型三 二次根式的乘除法
31．计算的结果为
A． B． C．5 D．6
【答案】
【分析】根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可．
【解析】原式．
故选．
32．化简正确的是
A． B． C． D．5
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案．
【解析】原式，
故选．
33．若则
A． B． C． D．为一切实数
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解析】根据题意得且，
所以．
故选．
34．等式成立的条件是
A． B．且 C． D．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
【解析】等式成立的条件是：，
解得：．
故选．
35．已知，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含的形式．
【解析】
，，
原式．
故选．
36．估计的值在
A．14到14.5之间 B．14.5到15之间 C．15到15.5之间 D．15.5到16之间
【答案】
【分析】先运算二次根式，得，再进行的估算，即可作答．
【解析】，
，，
则，
故选．
37．下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】运用二次根式的乘除法法则判定即可．
【解析】、，故选项错误；
、，故选项错误；
、，故选项错误；
、，故选项正确．
故选．
38．计算： ．
【答案】．
【分析】直接把被开方数相乘除计算即可．
【解析】原式，
故答案为：．
39．已知，且是偶数，则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据二次根式的意义求出，得出，然后进行根据二次根式性质进行化简求出结果即可．
【解析】，
，，
解得：，
为偶数，
，
．
40．化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）逆用二次根式的乘法法则，把二次根式写成两个二次根式乘积的形式，再化简计算即可；
（2）逆用二次根式的除法法则，把二次根式写成两个二次根式相除的形式，再化简计算即可．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
41．计算或化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；
（2）根据分式的乘法法则、减法法则计算．
【解析】（1）
；
（2）原式
．
42．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
43．已知，先化简再求的值．
【分析】利用算术平方根及绝对值的非负性列得二元一次方程组，解方程组求得，的值，然后将原式化简后代入数值计算即可．
【解析】由题意得，
解得：，
原式
；
当，时，
原式．
44．在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值．
小刚是这样解的：．
把，代入，得．
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
【分析】利用二次根式的性质结合，的关系得出它们的符号，进而化简求出答案．
【解析】，，
，，
．
把，代入，得原式．
45．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
（1）①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若，为正整数），则的值为 71 ．
（2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律；
【分析】（1）①答案不唯一可以举例说明．
②判断出，的值，可得结论；
（2）通过观察例子中数据的特点即可得出规律，再仿照例子即可证明．
【解析】（1）①；
②由题意，，
．
故答案为：71；
（2）结论：．
理由：．
题型四 分母有理化
46．无理数的倒数是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出的倒数，然后再把它分母有理化即可．
【解析】的倒数为：，
、、选项不符合题意，选项符合题意，
故选．
47．已知，，则，的关系是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将分母有理化得到结果，比较与即可．
【解析】，，
，
故选．
48．如果，，那么下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先判断出，，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论．
【解析】，
，同号，
，
，，
无意义，故选项错误，不符合题意；
，
故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选．
49．若、为正有理数，则有，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”； 与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；
②若（其中、为有理数）则；
③若，则；
④；
以上结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据分母有理化的计算方法以及分式加减法的计算方法逐项进行计算，再判断即可．
【解析】①，因此①正确；
②，，
，
，
，
，
即，
因此②不正确；
③，即，
即，
，
即，
因此③正确；
④左边
右边，
④正确；
综上所述，正确的结论有①③④，共3个，
故选．
50．写一个实数，使运算的结果为有理数，可以是 （答案不唯一） （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解析】．
可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
51．已知，则的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】先将化简，再得出的值，然后将化简，最后将和的值代入计算即可．
【解析】，，
．
故答案为：2．
52．比较大小： （用，或填空）．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而比较得出答案．
【解析】，
，
，
．
故答案为：．
53．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
【答案】．
【分析】根据满足，则称这两个代数式为“互为友好因式，列出式子，再分母有理化．
【解析】，则称这两个代数式为“互为友好因式“，
的“互为友好因式”： ，
故答案为：．
54．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
55．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简： ．
【分析】分子、分母同时乘以即可．
【解析】．
故答案为：．
56．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”．
（1）若，，求出，的“如意数” ．
（2）如果，，求，的“如意数” ，并证明“如意数” ．
（3）已知，且，的“如意数” ，求的值．
【分析】（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数” ；
（2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数” 后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数” 的大小；
（3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解．
【解析】（1）；
（2），，
，
，
，
；
（3），，的“如意数” ，
，
，
即：．
57．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当，都是正数时，①若，则；②若，则；③，则．
我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
（1）请用上述方法比较与的大小；
（2）写出与为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由，得到，即可得到答案；
（2）先计算得到，再根据即可得到结论．
【解析】（1）解：，
，
；
（2），
证明：
；
，
，
．
58．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简；
（2）已知的整数部分为，小数部分为，求的值．
【分析】（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）将进行分母有理化为，进而可得的整数部分为，小数部分为，代入即可求解．
【解析】（1）
；
（2），
又，
，
的整数部分为，小数部分为，
则．
59．我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ；
（2）化简：；
（3）比较的大小，说明理由．
【分析】本题主要考查的分母有理化的应用．（1）（2）易求．解答（3）题时，可沿用（1）（2）的思路．由于所求的两个式子的大小无法直接判断出，因此可用它们的有理化因式将它们分别表示出来，然后再进行判断．
【解析】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
（2）原式；
（3）；；
，
．
60．阅读下列解题过程：；
；
请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算；
（2）请直接写出的结果．
（3）利用上面的解法，请化简：．
【分析】（1）观察上面解题过程，得出原式的结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式利用各种分母有理化，计算即可得到结果．
【解析】（1）原式；
（2）归纳总结得：；
（3）原式．中小学教育资源及组卷应用平台
题型专练02 二次根式的乘除（4大题型）
题型目录
题型一 二次根式的性质与化简
题型二 最简二次根式
题型三 二次根式的乘除法
题型四 分母有理化
题型分类
题型一 二次根式的性质与化简
1．二次根式化成最简结果为
A． B． C． D．
2．已知，化简二次根式的正确结果为
A． B． C． D．
3．若，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．若，则
A． B． C． D．
5．有理数，，在数轴上的位置如图：化简：
A． B． C． D．
6．已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是
A． B． C． D．
7．化简： ．
8．当时，代数式的值是 ．
9．已知，那么的取值范围是 ．
10．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于 ．
11．已知实数，，在数轴上的位置如图，化简．
12．已知，化简．
13．我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
（1）化简： ， ；
（2）若，则的取值范围为 ；
（3）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．
14．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）．
15．定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）与是关于 的共轭二次根式；
（2）若与是关于2的共轭二次根式，则 ．
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
16．学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求的值．
甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：
设，两边平方得：
，即，
，
，
，
请你参考上述方法，求的值．
17．像，．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）若，则 ， ．
（2）化简：① ，②
（3）若，且，，为正整数，求的值．
18．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围．
解：原式
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）
所以，的取值范围是
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当时，化简， ．
（2）若等式 成立，则的取值范围是 ．
（3）若，求的取值．
19．综合与实践
在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方公式化成另一式子的平方，如：，．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简，．
（1）请你依上述方法将化成一个式子的平方，并直接写出的值．
（2）化简：．
（3）若且、、均为正整数，则 ．
20．阅读材料：
材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：．
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如：．
，
，即．
的最小值为1．
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；
（2）求的最值；
（3）比较和的大小，并说明理由．
题型二 最简二次根式
21．下面各式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
22．下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
23．下列二次根式：中，是最简二次根式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
24．写出一个最简二次根式 ．
25．化为最简二次根式： ．
26．已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数的值 ．
27．下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
28．若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是 ．
29．把下列二次根式化为最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
30．已知、是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
题型三 二次根式的乘除法
31．计算的结果为
A． B． C．5 D．6
32．化简正确的是
A． B． C． D．5
33．若则
A． B． C． D．为一切实数
34．等式成立的条件是
A． B．且 C． D．
35．已知，，则
A． B． C． D．
36．估计的值在
A．14到14.5之间 B．14.5到15之间 C．15到15.5之间 D．15.5到16之间
37．下列各式计算正确的是
A． B． C． D．
38．计算： ．
39．已知，且是偶数，则的值为 ．
40．化简：
（1）；
（2）．
41．计算或化简：
（1）；
（2）．
42．计算：
（1）；
（2）．
43．已知，先化简再求的值．
44．在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知，，求的值．
小刚是这样解的：．
把，代入，得．
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
45．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
（1）①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若，为正整数），则的值为 ．
（2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律；
题型四 分母有理化
46．无理数的倒数是
A． B． C． D．
47．已知，，则，的关系是
A． B． C． D．
48．如果，，那么下列各式中正确的是
A． B． C． D．
49．若、为正有理数，则有，得到有理数结果，我们把称为“的有理化因式”； 与互称为“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；
②若（其中、为有理数）则；
③若，则；
④；
以上结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
50．写一个实数，使运算的结果为有理数，可以是 （写出一个即可）．
51．已知，则的值为 ．
52．比较大小： （用，或填空）．
53．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
54．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
55．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简： ．
56．定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”．
（1）若，，求出，的“如意数” ．
（2）如果，，求，的“如意数” ，并证明“如意数” ．
（3）已知，且，的“如意数” ，求的值．
57．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当，都是正数时，①若，则；②若，则；③，则．
我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
（1）请用上述方法比较与的大小；
（2）写出与为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
58．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简；
（2）已知的整数部分为，小数部分为，求的值．
59．我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要先把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ；
（2）化简：；
（3）比较的大小，说明理由．
60．阅读下列解题过程：；
；
请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算；
（2）请直接写出的结果．
（3）利用上面的解法，请化简：．
