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题型分类专训01 二次根式（6大题型）
题型目录
题型一 二次根式的概念与识别
题型二 二次根式有意义的条件
题型三 求二次根式的值
题型四 利用二次根式的性质化简
题型五 求二次根式中的参数
题型六 复合二次根式的化简
题型分类
题型一 二次根式的概念与识别
1．在下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题．
【解析】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意；
C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意；
D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意；
故选D．
2．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可．
【解析】解：A、1不是二次根式，不符合题意；
B、不是二次根式，不符合题意；
C、是二次根式，符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选C．
3．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【解析】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；
B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式；
C、，含有三次根号，不是二次根式；
D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式．
4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【解析】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
题型二 二次根式有意义的条件
5．当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可．
【解析】解：由题意得，
解得：，
故选C．
6．二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解．
【解析】解：由题意可得：，
解得：，
故选B．
7．若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
解得：，
故选B．
8．当 时有意义．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【解析】解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
11．若实数m满足，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键．
【解析】解：由题意可知：，
解得：，
故答案为：．
12．若满足等式，则的值为 ．
【答案】2022
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴．
故答案为：2022．
题型三 求二次根式的值
13．当时，二次根式的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．2
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可．
【解析】解：当时，二次根式，
故选D．
14．当时，二次根式的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
【解析】解：当时，．
故选B．
15．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键．
【解析】解：∵，
∴与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故选．
16．当时，二次根式的值是
【答案】1
【分析】本题考查二次根式求值．
将的值代入计算可得．
【解析】解：将代入，得：，
故答案为：1．
17．当时，的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：．
18．当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【解析】（1）解：当 时，
；
（2）解： 当 时，
．
题型四 利用二次根式的性质化简
19．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式化简性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据二次根式化简性质即可作答．
【解析】解：．
故选A．
20．若，则 化简后的结果是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，有意义可得，进而即可求解．
【解析】解：∵，有意义，
∴，
∴，
故选D．
21．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【解析】解：∵有意义，
∴
∴，
故选D．
22．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可．
【解析】解：根据题意可得，得到，
那么
故选A．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解．
【解析】解：观察数轴得：，
∴，
∴．
故选A
24．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可．
【解析】解：∵，
，，
∴，
故选D．
25．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可．
【解析】解：由图可知：，
∴，
∴原式；
故选C
26．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【解析】解：根据数轴得：，
∴，
∴
．
故选A．
27．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
故选A．
28．化去根号内的分母 .
【答案】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
把被开方数的分子、分母同时乘以即可．
【解析】解：，
故答案为：．
29．化简得 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，最简二次根式定义，是解题关键．
根据公式， 以及 进行化简即可．
【解析】解：．
故答案为：．
30．化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的化简，按照化简二次根式的步骤化简即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为： ．
31．若，a，b为实数，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集．根据二次根式有意义的条件求出，进而求出，然后代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：3．
32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解．
【解析】解：由数轴可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
33．实数a、b在数轴上位置如图，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．
先根据数轴确定的正负，然后运用绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可．
【解析】解：由数轴可得：，且，
∴，
∴．
故答案为：．
34．已知，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可．
【解析】解：，
，，
，
故答案为：1．
35．如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简与性质，以及绝对值的性质，关键是掌握性质：．
首先根据、在数轴上的位置确定、得到小关系，再根据绝对值得性质去绝对值，合并同类项即可．
【解析】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，
，，
在的左侧，
，
，
故答案为．
36．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可．
【解析】解：由数轴可知：，
∴，，，
∴
．
题型五 求二次根式中的参数
37．若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【解析】∵，
∴，
∴-2．
故选A．
38．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【解析】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故选D．
39．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【解析】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选D．
40．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
41．已知是整数，则自然数的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值．
【解析】解：根据被开方数是非负数可得，中的，
解得：，
∵是自然数，
∴，
∵是整数，
∴，，
∴自然数的值是或，
故答案为：或．
42．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ．
【答案】35
【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解．
【解析】解：∵，是整数，n是正整数，
∴n的最小值为35．
故答案为：35
43．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解．
【解析】解：由已知得，
又∵为整数
为完全平方数，
或或或
自然数x的所有取值为：．
44．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解．
【解析】∵属于真分数，
∴，且为整数，
∴可以取，即，
故答案为：（答案不唯一）．
45．若是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
【答案】1，4，9，36
【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值．
【解析】解：∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴①，即；
②，即；
③，即；
④，即；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
46．已知是整数，则的最小整数值是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键．
由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可．
【解析】解：∵且是整数，
∴是整数，
∴是完全平方数．
∵，
∴，
∴n的最小整数值是0．
故答案为：0．
题型六 复合二次根式的化简
47．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
【解析】解：原式
，
故选D．
48．已知正整数满足．则这样的的取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，，，
又∵，
当时，不合题意，
当时，不合题意，
当时，符合题意，
满足条件的取值只有1组．
故选A．
49．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案．
【解析】解：原式，
均为正整数，
的最小值为1，此时m最小值为5，
的最小值为．
故答案为：5．
50．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得．
【解析】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
51．当时，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键．
【解析】解：
，
∵，
∴
．
故答案为：．
52．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故．
由，
解得，即．
根据以上方法，求的值．
【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可．
【解析】解：设，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴．
53．先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可；
（2）仿照小莉的解答过程求解即可．
【解析】（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式
54．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：
．
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
；
(2)根据上述思路，试将予以化简．
【分析】本题主要考查了复合二次根式化简：
（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可；
（2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可．
【解析】（1）解：
；
故答案为：；；；；
（2）解：
．
55．阅读材料．
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______，______．
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．
【解析】（1）解：∵，
；
，
；
（2）解：
．
56．先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程
如下：
(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简；
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【解析】（1）解：①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：；
（2）解：原式
．
57．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可．
【解析】解：，这里，
由于，，
∴，
∴
．
58．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可．
【解析】（1）解：；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）∵
∴，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴k的值为：或．
59．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简 ．
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【解析】解：
；
故答案为：．
60．观察下面的式子：，，，
(1)类比上述式子，再写3个同类型的式子；
(2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明．
【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系，
（1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子；
（2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可．
【解析】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是：
，，；
（2）猜想：（为自然数）．
证明：．
61．先阅读下列材料然后作答．
提出问题 该如何化简？
分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有．
解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ．
方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）．
【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）根据勾股定理及题中方法求出即可．
【解析】解：（1），这里，，
由于，，即，，
；
（2）在中，，，，
，
即
，，
，，
，，
．
62．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：．
解：隐含条件，
解得，
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简（结果保留）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：
【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得；
（2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得；
（3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得．
【解析】解：（1）隐含条件，
解得，
∴，
∴
；
（2）由数轴可知，，
∴，
∴
；
（3）∵为的三边长，
∴，，，，
∴，，，，
∴
．
63．阅读下列材料回答问题：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，．
(1)填空：______，______；
(2)化简：
①，
②；
(3)计算：．
【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：
（1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可；
（2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可；
（3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可．
【解析】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
64．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据结合完全平方公式求解即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根据进行化简求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
∴，，
∵x，y为正整数，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．中小学教育资源及组卷应用平台
题型专练01 二次根式（6大题型）
题型目录
题型一 二次根式的概念与识别
题型二 二次根式有意义的条件
题型三 求二次根式的值
题型四 利用二次根式的性质化简
题型五 求二次根式中的参数
题型六 复合二次根式的化简
题型分类
题型一 二次根式的概念与识别
1．在下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题．
【解析】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意；
C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意；
D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意；
故选D．
2．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可．
【解析】解：A、1不是二次根式，不符合题意；
B、不是二次根式，不符合题意；
C、是二次根式，符合题意；
D、不是二次根式，不符合题意；
故选C．
3．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【解析】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式；
B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式；
C、，含有三次根号，不是二次根式；
D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式．
4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【解析】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
题型二 二次根式有意义的条件
5．当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可．
【解析】解：由题意得，
解得：，
故选C．
6．二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解．
【解析】解：由题意可得：，
解得：，
故选B．
7．若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
解得：，
故选B．
8．当 时有意义．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【解析】解：由题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
11．若实数m满足，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键．
【解析】解：由题意可知：，
解得：，
故答案为：．
12．若满足等式，则的值为 ．
【答案】2022
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴．
故答案为：2022．
题型三 求二次根式的值
13．当时，二次根式的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．2
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可．
【解析】解：当时，二次根式，
故选D．
14．当时，二次根式的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
【解析】解：当时，．
故选B．
15．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键．
【解析】解：∵，
∴与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故选．
16．当时，二次根式的值是
【答案】1
【分析】本题考查二次根式求值．
将的值代入计算可得．
【解析】解：将代入，得：，
故答案为：1．
17．当时，的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：．
18．当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【解析】（1）解：当 时，
；
（2）解： 当 时，
．
题型四 利用二次根式的性质化简
19．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式化简性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据二次根式化简性质即可作答．
【解析】解：．
故选A．
20．若，则 化简后的结果是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，有意义可得，进而即可求解．
【解析】解：∵，有意义，
∴，
∴，
故选D．
21．下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【解析】解：∵有意义，
∴
∴，
故选D．
22．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可．
【解析】解：根据题意可得，得到，
那么
故选A．
23．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解．
【解析】解：观察数轴得：，
∴，
∴．
故选A
24．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可．
【解析】解：∵，
，，
∴，
故选D．
25．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可．
【解析】解：由图可知：，
∴，
∴原式；
故选C
26．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【解析】解：根据数轴得：，
∴，
∴
．
故选A．
27．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
故选A．
28．化去根号内的分母 .
【答案】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
把被开方数的分子、分母同时乘以即可．
【解析】解：，
故答案为：．
29．化简得 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，最简二次根式定义，是解题关键．
根据公式， 以及 进行化简即可．
【解析】解：．
故答案为：．
30．化简： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的化简，按照化简二次根式的步骤化简即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为： ．
31．若，a，b为实数，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集．根据二次根式有意义的条件求出，进而求出，然后代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：3．
32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解．
【解析】解：由数轴可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
33．实数a、b在数轴上位置如图，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．
先根据数轴确定的正负，然后运用绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可．
【解析】解：由数轴可得：，且，
∴，
∴．
故答案为：．
34．已知，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可．
【解析】解：，
，，
，
故答案为：1．
35．如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简与性质，以及绝对值的性质，关键是掌握性质：．
首先根据、在数轴上的位置确定、得到小关系，再根据绝对值得性质去绝对值，合并同类项即可．
【解析】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，
，，
在的左侧，
，
，
故答案为．
36．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可．
【解析】解：由数轴可知：，
∴，，，
∴
．
题型五 求二次根式中的参数
37．若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【解析】∵，
∴，
∴-2．
故选A．
38．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【解析】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故选D．
39．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【解析】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选D．
40．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
41．已知是整数，则自然数的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值．
【解析】解：根据被开方数是非负数可得，中的，
解得：，
∵是自然数，
∴，
∵是整数，
∴，，
∴自然数的值是或，
故答案为：或．
42．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ．
【答案】35
【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解．
【解析】解：∵，是整数，n是正整数，
∴n的最小值为35．
故答案为：35
43．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解．
【解析】解：由已知得，
又∵为整数
为完全平方数，
或或或
自然数x的所有取值为：．
44．若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】属于真分数，则是整数，且不能为的因数，即可求解．
【解析】∵属于真分数，
∴，且为整数，
∴可以取，即，
故答案为：（答案不唯一）．
45．若是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
【答案】1，4，9，36
【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值．
【解析】解：∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴①，即；
②，即；
③，即；
④，即；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
46．已知是整数，则的最小整数值是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键．
由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可．
【解析】解：∵且是整数，
∴是整数，
∴是完全平方数．
∵，
∴，
∴n的最小整数值是0．
故答案为：0．
题型六 复合二次根式的化简
47．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
【解析】解：原式
，
故选D．
48．已知正整数满足．则这样的的取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，，，
又∵，
当时，不合题意，
当时，不合题意，
当时，符合题意，
满足条件的取值只有1组．
故选A．
49．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案．
【解析】解：原式，
均为正整数，
的最小值为1，此时m最小值为5，
的最小值为．
故答案为：5．
50．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得．
【解析】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
51．当时，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键．
【解析】解：
，
∵，
∴
．
故答案为：．
52．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故．
由，
解得，即．
根据以上方法，求的值．
【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可．
【解析】解：设，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴．
53．先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可；
（2）仿照小莉的解答过程求解即可．
【解析】（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式
54．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：
．
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
；
(2)根据上述思路，试将予以化简．
【分析】本题主要考查了复合二次根式化简：
（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可；
（2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可．
【解析】（1）解：
；
故答案为：；；；；
（2）解：
．
55．阅读材料．
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______，______．
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．
【解析】（1）解：∵，
；
，
；
（2）解：
．
56．先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程
如下：
(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简；
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【解析】（1）解：①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：；
（2）解：原式
．
57．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可．
【解析】解：，这里，
由于，，
∴，
∴
．
58．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可．
【解析】（1）解：；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）∵
∴，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴k的值为：或．
59．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简 ．
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【解析】解：
；
故答案为：．
60．观察下面的式子：，，，
(1)类比上述式子，再写3个同类型的式子；
(2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明．
【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系，
（1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子；
（2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可．
【解析】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是：
，，；
（2）猜想：（为自然数）．
证明：．
61．先阅读下列材料然后作答．
提出问题 该如何化简？
分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有．
解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ．
方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）．
【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）根据勾股定理及题中方法求出即可．
【解析】解：（1），这里，，
由于，，即，，
；
（2）在中，，，，
，
即
，，
，，
，，
．
62．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：．
解：隐含条件，
解得，
∴，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简（结果保留）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：
【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得；
（2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得；
（3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得．
【解析】解：（1）隐含条件，
解得，
∴，
∴
；
（2）由数轴可知，，
∴，
∴
；
（3）∵为的三边长，
∴，，，，
∴，，，，
∴
．
63．阅读下列材料回答问题：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，．
(1)填空：______，______；
(2)化简：
①，
②；
(3)计算：．
【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：
（1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可；
（2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可；
（3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可．
【解析】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
64．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据结合完全平方公式求解即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根据进行化简求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
∴，，
∵x，y为正整数，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．
