第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共30分）
得分
1．（2017·包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．（2023·眉山）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2016·怀化）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
4．（2022·梧州）如图，在 中， 是 的角平分线，过点D分别作 ，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·扬州）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2020八上·沭阳月考）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
阅卷人 二、填空题（每题5分，共30分）
得分
7．（2023·重庆）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
8．（2021·牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ．
9．（2016·绵阳）如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ．
10．（2012·来宾）已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 °．
11．（2020·江西）如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为 ．
12．（2022·十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 ， 分别架在墙体的点 ， 处，且 ，侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 .
阅卷人 三、解答题（共4题，共40分）
得分
13．（2023·益阳）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．
15．（2024八上·杭州期中）在 ABC中， AD⊥BC， E是BC上的一点.
（1）若E是 BC的中点， AB=10， AD=6， ∠C=45°，求AE的长：
（2）若AE 是∠BAC的角平分线， ∠B=40°，∠C=60°， 求∠EAD 的度数.
16．（2021·宜昌）如图，在 中， ， .
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 是线段 的 ，射线 是 的 ；
（2）在（1）所作的图中，求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等腰三角形的性质结合题意即可得到∠ACB=∠ABC=70°，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴ ，
∴ ，故A、D结论正确，不符合题意；
又AD是△ABC的角平分线， ，
∴ ，故B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出AD=BC ，故C结论错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，BD=CD，据此判断A、D；根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断B.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
故共有3个点，
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，据此分别求解即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选D．
【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
7．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，是边的中线，
∴点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴，
在△ABD中，由勾股定理得，
故答案为：4
【分析】根据等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解。
8．【答案】45°或36°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，
△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴原等腰三角形的底角为36°；
故答案为45°或36°
【分析】根据题意画出符合题意的所有图形，再利用等腰三角形求解即可得出答案。
9．【答案】66°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OA=AC，
∴∠ACO=∠AOC= ×（180°﹣∠A）= ×（180°﹣48°）=66°．
∵AC∥BD，
∴∠D=∠C=66°．
故答案为：66°．
【分析】先依据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠AOC，然后依据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后依据平行线的性质可求得∠D的度数．
10．【答案】50或80
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°﹣80°）÷2=50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50或80．故答案为50或80．
【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．
11．【答案】82°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，延长 与 交于点F
平分 ， ，
是 的垂直平分线，
故答案为：
【分析】如图，连接 ，延长 与 交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明 是 的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到： 从而可得答案．
12．【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形BDEC为矩形
，
故答案为：110.
【分析】由矩形的性质可得∠DBC=90°，利用平角的定义可求出∠ABC=35°，由AB=AC可得∠ACB=
∠ABC=35°，利用三角形的内角和即可求出∠A的度数.
13．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，从而得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
14．【答案】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中，，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB===，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，
∴DE=AB，DF=AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AB，DF=AC，证出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．
15．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠C =45°，
∴∠DAC =90°-∠C = 45°，
∴∠C =∠DAC=45°，
∴DA=DC =6，
在Rt△ABD中， AB=10， AD =6，
∴BC=BD+CD=8+6=14，
∵E是BC的中点，
∴DE =BD-BE=8-7=1，
（2）解：∵∠B=40°， ∠C=60°，
∴∠BAC =180°-∠B-∠C = 80°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD =90°-∠B=50°，
∴∠EAD =∠BAD﹣∠BAE =10°
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)根据垂直得到∠ADB=∠ADC =90°，再利用直角三角形的性质可得∠C=∠DAC =45°， 根据等角对等边得DA=DC=6，利用勾股定理求出BD的长，进而可得BE=7， 从而可得DE=1， 再利用勾股定理解题即可；
(2)先利用三角形内角和定理得到∠BAC =80°，然后利用角平分线可得∠BAE= 40°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD=50°，最后利用角的和差解题即可.
16．【答案】（1）垂直平分线；角平分线
（2）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
∵射线 是 的平分线，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）由图可知：直线 是线段 的垂直平分线，射线 是 的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
【分析】（1）利用线段垂直平分线和角平分线的作图，可得答案.
（2）利用线段垂直平分线的性质可证得DB=AD，利用等边对等角可求出∠BAD的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠BAC、∠DAC的度数，然后利用角平分线的定义求出∠DAE的度数.
1 / 1第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共30分）
得分
1．（2017·包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
2．（2023·眉山）如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
∵，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等腰三角形的性质结合题意即可得到∠ACB=∠ABC=70°，进而即可求解。
3．（2016·怀化）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
4．（2022·梧州）如图，在 中， 是 的角平分线，过点D分别作 ，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴ ，
∴ ，故A、D结论正确，不符合题意；
又AD是△ABC的角平分线， ，
∴ ，故B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出AD=BC ，故C结论错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，BD=CD，据此判断A、D；根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断B.
5．（2021·扬州）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
故共有3个点，
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，据此分别求解即可.
6．（2020八上·沭阳月考）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选D．
【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
阅卷人 二、填空题（每题5分，共30分）
得分
7．（2023·重庆）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，是边的中线，
∴点D为BC的中点，AD⊥BC，
∴，
在△ABD中，由勾股定理得，
故答案为：4
【分析】根据等腰三角形的性质结合勾股定理即可求解。
8．（2021·牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ．
【答案】45°或36°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，
△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴原等腰三角形的底角为36°；
故答案为45°或36°
【分析】根据题意画出符合题意的所有图形，再利用等腰三角形求解即可得出答案。
9．（2016·绵阳）如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ．
【答案】66°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OA=AC，
∴∠ACO=∠AOC= ×（180°﹣∠A）= ×（180°﹣48°）=66°．
∵AC∥BD，
∴∠D=∠C=66°．
故答案为：66°．
【分析】先依据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠AOC，然后依据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后依据平行线的性质可求得∠D的度数．
10．（2012·来宾）已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 °．
【答案】50或80
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°﹣80°）÷2=50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50或80．故答案为50或80．
【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．
11．（2020·江西）如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为 ．
【答案】82°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，延长 与 交于点F
平分 ， ，
是 的垂直平分线，
故答案为：
【分析】如图，连接 ，延长 与 交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明 是 的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到： 从而可得答案．
12．（2022·十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 ， 分别架在墙体的点 ， 处，且 ，侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 .
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形BDEC为矩形
，
故答案为：110.
【分析】由矩形的性质可得∠DBC=90°，利用平角的定义可求出∠ABC=35°，由AB=AC可得∠ACB=
∠ABC=35°，利用三角形的内角和即可求出∠A的度数.
阅卷人 三、解答题（共4题，共40分）
得分
13．（2023·益阳）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，从而得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．
【答案】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴AE=BE=AB，AF=CF=AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中，，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，
∴BD=CD=BC=3，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB===，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，
∴DE=AB，DF=AC，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF的周长=4AE=2AB=．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】先由SSS证明△ADE≌△ADF，得出∠DAE=∠DAF，即AD平分∠BAC，再由等腰三角形的三线合一性质得出BD=CD=BC=3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=AB，DF=AC，证出AE=AF=DE=DF，即可求出结果．
15．（2024八上·杭州期中）在 ABC中， AD⊥BC， E是BC上的一点.
（1）若E是 BC的中点， AB=10， AD=6， ∠C=45°，求AE的长：
（2）若AE 是∠BAC的角平分线， ∠B=40°，∠C=60°， 求∠EAD 的度数.
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠C =45°，
∴∠DAC =90°-∠C = 45°，
∴∠C =∠DAC=45°，
∴DA=DC =6，
在Rt△ABD中， AB=10， AD =6，
∴BC=BD+CD=8+6=14，
∵E是BC的中点，
∴DE =BD-BE=8-7=1，
（2）解：∵∠B=40°， ∠C=60°，
∴∠BAC =180°-∠B-∠C = 80°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD =90°-∠B=50°，
∴∠EAD =∠BAD﹣∠BAE =10°
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)根据垂直得到∠ADB=∠ADC =90°，再利用直角三角形的性质可得∠C=∠DAC =45°， 根据等角对等边得DA=DC=6，利用勾股定理求出BD的长，进而可得BE=7， 从而可得DE=1， 再利用勾股定理解题即可；
(2)先利用三角形内角和定理得到∠BAC =80°，然后利用角平分线可得∠BAE= 40°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD=50°，最后利用角的和差解题即可.
16．（2021·宜昌）如图，在 中， ， .
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 是线段 的 ，射线 是 的 ；
（2）在（1）所作的图中，求 的度数.
【答案】（1）垂直平分线；角平分线
（2）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
∵射线 是 的平分线，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）由图可知：直线 是线段 的垂直平分线，射线 是 的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
【分析】（1）利用线段垂直平分线和角平分线的作图，可得答案.
（2）利用线段垂直平分线的性质可证得DB=AD，利用等边对等角可求出∠BAD的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠BAC、∠DAC的度数，然后利用角平分线的定义求出∠DAE的度数.
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