第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（2）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共30分）
得分
1．（2022·鄂州）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019八上·龙湾期中）具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（ ）
A．有两个角分别为20°，120° B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60° D．有两个角分别为50°，80°
4．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八上·广州期中）如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024七下·市中区月考）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
阅卷人 二、填空题（每题4分，共20分）
得分
7．（2022·绍兴）如图，在△ABC 中， ∠ABC=40°， ∠BAC=80°，以点 A为圆心， AC 长为半径作弧，交射线 BA 于点 D，连结 CD ，则 ∠BCD 的度数是 ．
8．（2024八上·余杭期中）如图，在中，BD平分，交AB于点.若，则DE的长为 cm.
9．（2024八上·上海市期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ．
10．如图，的平分线相交于点F，过点F作交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE.其中正确的是 .
11．（2024八上·自贡期中）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．
阅卷人 三、解答题（共5题，共50分）
得分
12．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，．
（1）求度数；
（2）求的周长．
13．（2023·荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD=CE．
14．（2022·温州）如图， BD 是 △ABC的角平分线， DE∥BC ，交 AB 于点E．
（1）求证： ．
（2）当AB=AC时，请判断 CD 与ED的大小关系，并说明理由．
15．（2021·徐州）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 两点重合.点 落在点 处.已知 ， .
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求线段 的长.
16．（2024八上·中山期中）【探究学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”．
（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线；
【概念应用】
（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图得，CA=CB，
∴
∵∠BCA＝150°，
∴
∵l1∥l2
∴
故答案为：B.
【分析】由作图得：CA=CB，则∠ABC=∠CAB，结合内角和定理可得∠ABC的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴DB=DA=，
在Rt△ADC中，
DC===1；
∴BC=+1．
故选D．
【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；
B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；
C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；
D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，
有两个角相等，是等腰三角形；
∴有两个角分别为30°，60°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；
故选：D．
【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．
4．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，故①正确；
若，
∵
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，则，
∴仅当时，有，故②不正确；
设，
∵
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴，故③正确
如图所示，延长交于点，连接，
∵平分，，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
即，故④正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和和外角的性质得到，进而判断①；根据等腰三角形的性质与判定即可判断②，根据等角的余角相等和三角形的外角判断③，延长交于点，连接，得到，即可得到，进而得到，根据平行线间的距离相等得到判断④即可求解．
5．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B'，连接B'C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B'（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B'H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
【分析】本题考查轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质.做出B关于x轴对称点为B'，连接B'C，交x轴于点A'，此时的周长最小， 过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H， 根据点的坐标可推出CH= B'H=5，利用等腰直角三角形的性质可得：∠OB'A'=∠OA'B'=45°，根据等角对等边可得：OB'=OA'=1，进而可求出 此时A'坐标 ，进而可求出m的值．
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①如图，延长CF交AB于H，
∵分别为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴BF=AC；
∴原结论正确，符合题意；
②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，
∴DF=DC，
∵∠ADC=90°，
∴DCF=∠DFC=45°，
∴，
∴，
∴原结论正确，符合题意；
③∵BF=2EC，
由①得：BF=AC，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长；
∴原结论正确，符合题意；
④由②得：，，
∴，
∵，
∴，
∴原结论错误，不符合题意；
∴正确的有①②③．
故答案为：A．
【分析】①延长CF交AB于H，用角边角可证△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等即可求解；
②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等可得DF=DC，然后根据等边对等角可得DCF=∠DFC=45°，然后用三角形的内角和定理可求出的度数，再根据垂线的定义可判断求解；
③由①的结论并结合已知易得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AF=CF，BA=BC，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解；
④由②得：，，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角”可得．
7．【答案】10°或100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠ACB＝180° 40° 80°＝60°，
由作图可知AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180° 80°）＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB ∠ACD＝60° 50°＝10°；
由作图可知AC＝AD′，
∴∠ACD′＝∠AD′C，
∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，
∴∠AD′C＝40°，
∴∠BCD′＝180° ∠ABC ∠AD′C＝180° 40° 40°＝100°，
∴∠BCD的度数是10°或100°.
故答案为：10°或100°
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB ∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.
8．【答案】4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD平分，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：4.
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到：则进而根据线段间的数量关系即可求解.
9．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；内错角的概念
【解析】【解答】解：如图，延长交于点F，
∵，
∴，
∵点E为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：4．
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边.延长交于点F，根据两直线平行，内错角相等可得，根据中点的性质可得，再结合，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质，平行线的性质可得：，再根据等角对等边可得：，进而可得，代入数据可求出答案．
10．【答案】①②③
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠CBF，∠ECF=∠BCF
∵过点F作交AB于D，交AC于E
∴∠DFB=∠BFD，∠EFC=∠BCF
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，①正确；
∴BD=DF，CE=EF
∴DE=DF+EF=BD+CE，②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC，③正确
无法判断BD=CE，④错误
故答案为：①②③
【分析】根据角平分线概念可得∠DBF=∠CBF，∠ECF=∠BCF，再根据直线平行性质可得∠DFB=∠BFD，∠EFC=∠BCF，则∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，由等腰三角形判定定理可判断①正确，根据等腰三角形性质可得BD=DF，CE=EF，再根据边之间的关系可判断②正确，根据三角形周长进行边之间的转换可判断③正确，无法判断④；
11．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，作于点G，
∵点是平分线上的一点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作于点E，作于点G，先根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，gj 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，然后根据等边对等角得到的度数即可．
12．【答案】（1）解：，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
又∵为的中点，
∴平分，
∴，
故度数为
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得：，再由为的中点，可得平分，即可求解；
（2）根据平行线的性质得：，从而得到，进而得到，即可求解．
（1）解：∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
又∵为的中点，
∴平分，
∴，
故度数为．
（2）解∶∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
13．【答案】证明：如图，
BD为等边△ABC的中线
，
BD=DE
∠E=∠3=
CD=CE
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得∠1=60°，BD⊥AC，则∠3=30°，由作图可得BD=DE，则∠E=∠3=3°，由外角的性质可得∠2+∠E=∠1，求出∠2的度数，推出∠E=∠2，据此证明.
14．【答案】（1）证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
由（1）得 ，
∴ ，
∴
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.
（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.
15．【答案】（1）证明： 四边形 是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）解： 四边形 是矩形
，
设 ，则
因为折叠，则 ， ，
在 中
即
解得：
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得，由折叠可得，从而得出
，利用等腰三角形的判定即证结论；
（2）由矩形的性质可得 ， ，设 ，可得， 由折叠可得 ， ， ，在 中，由可得关于x的方程，求解即可.
16．【答案】（1）是；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∴为的完美分割线．
（3）或或或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴与互为“类似三角形”．
故答案为：是．
（3）（Ⅰ）当是等腰三角形时，
①如图1，
当时，则，
∴，
∵，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图2，
当时，则，
此时，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当是等腰三角形时，
①如图3，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；，，
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图4，
当，时，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
综上所述：或或或．
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角内角和定理．
（1）先求出、根据AB=AC，利用三角形的内角和定理可求出、，再根据平分， 利用角平分线的性质可求出， 再根据， 可求出，再根据“类似三角形”的定义可得出结论；
（2）利用角的运算和角平分线的性质可得：，，进而可推出 ，再根据“完美分割线”的定义可证明结论；
（3）根据题意可两种情况：当是等腰三角形和是等腰三角形.当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论；当是等腰三角形时，也分为三种情形： 当时 ；当；当时；利用三角形的内角和定理，利用角的运算，分别计算可求出的度数．
1 / 1第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（2）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共30分）
得分
1．（2022·鄂州）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图得，CA=CB，
∴
∵∠BCA＝150°，
∴
∵l1∥l2
∴
故答案为：B.
【分析】由作图得：CA=CB，则∠ABC=∠CAB，结合内角和定理可得∠ABC的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴DB=DA=，
在Rt△ADC中，
DC===1；
∴BC=+1．
故选D．
【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
3．（2019八上·龙湾期中）具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（ ）
A．有两个角分别为20°，120° B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60° D．有两个角分别为50°，80°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；
B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；
C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；
D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，
有两个角相等，是等腰三角形；
∴有两个角分别为30°，60°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；
故选：D．
【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．
4．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，故①正确；
若，
∵
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，则，
∴仅当时，有，故②不正确；
设，
∵
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴，故③正确
如图所示，延长交于点，连接，
∵平分，，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
即，故④正确
故正确的有①③④
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和和外角的性质得到，进而判断①；根据等腰三角形的性质与判定即可判断②，根据等角的余角相等和三角形的外角判断③，延长交于点，连接，得到，即可得到，进而得到，根据平行线间的距离相等得到判断④即可求解．
5．（2024八上·广州期中）如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B'，连接B'C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B'（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B'H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
【分析】本题考查轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质.做出B关于x轴对称点为B'，连接B'C，交x轴于点A'，此时的周长最小， 过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H， 根据点的坐标可推出CH= B'H=5，利用等腰直角三角形的性质可得：∠OB'A'=∠OA'B'=45°，根据等角对等边可得：OB'=OA'=1，进而可求出 此时A'坐标 ，进而可求出m的值．
6．（2024七下·市中区月考）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①如图，延长CF交AB于H，
∵分别为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴BF=AC；
∴原结论正确，符合题意；
②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，
∴DF=DC，
∵∠ADC=90°，
∴DCF=∠DFC=45°，
∴，
∴，
∴原结论正确，符合题意；
③∵BF=2EC，
由①得：BF=AC，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长；
∴原结论正确，符合题意；
④由②得：，，
∴，
∵，
∴，
∴原结论错误，不符合题意；
∴正确的有①②③．
故答案为：A．
【分析】①延长CF交AB于H，用角边角可证△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等即可求解；
②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等可得DF=DC，然后根据等边对等角可得DCF=∠DFC=45°，然后用三角形的内角和定理可求出的度数，再根据垂线的定义可判断求解；
③由①的结论并结合已知易得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AF=CF，BA=BC，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解；
④由②得：，，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角”可得．
阅卷人 二、填空题（每题4分，共20分）
得分
7．（2022·绍兴）如图，在△ABC 中， ∠ABC=40°， ∠BAC=80°，以点 A为圆心， AC 长为半径作弧，交射线 BA 于点 D，连结 CD ，则 ∠BCD 的度数是 ．
【答案】10°或100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠ACB＝180° 40° 80°＝60°，
由作图可知AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180° 80°）＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB ∠ACD＝60° 50°＝10°；
由作图可知AC＝AD′，
∴∠ACD′＝∠AD′C，
∵∠BAC＝∠ACD′＋∠AD′C＝80°，
∴∠AD′C＝40°，
∴∠BCD′＝180° ∠ABC ∠AD′C＝180° 40° 40°＝100°，
∴∠BCD的度数是10°或100°.
故答案为：10°或100°
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用作图可知AC＝AD，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝∠ACB ∠ACD，代入计算求出∠BCD的度数；由作图可知AC＝AD′，利用等边对等角可证得∠ACD′＝∠AD′C，利用三角形的外角的性质可求出∠AD′C的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BCD′的度数；综上所述可得到∠BCD的度数.
8．（2024八上·余杭期中）如图，在中，BD平分，交AB于点.若，则DE的长为 cm.
【答案】4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD平分，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：4.
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到：则进而根据线段间的数量关系即可求解.
9．（2024八上·上海市期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；内错角的概念
【解析】【解答】解：如图，延长交于点F，
∵，
∴，
∵点E为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：4．
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边.延长交于点F，根据两直线平行，内错角相等可得，根据中点的性质可得，再结合，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质，平行线的性质可得：，再根据等角对等边可得：，进而可得，代入数据可求出答案．
10．如图，的平分线相交于点F，过点F作交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE.其中正确的是 .
【答案】①②③
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠CBF，∠ECF=∠BCF
∵过点F作交AB于D，交AC于E
∴∠DFB=∠BFD，∠EFC=∠BCF
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，①正确；
∴BD=DF，CE=EF
∴DE=DF+EF=BD+CE，②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC，③正确
无法判断BD=CE，④错误
故答案为：①②③
【分析】根据角平分线概念可得∠DBF=∠CBF，∠ECF=∠BCF，再根据直线平行性质可得∠DFB=∠BFD，∠EFC=∠BCF，则∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，由等腰三角形判定定理可判断①正确，根据等腰三角形性质可得BD=DF，CE=EF，再根据边之间的关系可判断②正确，根据三角形周长进行边之间的转换可判断③正确，无法判断④；
11．（2024八上·自贡期中）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，作于点G，
∵点是平分线上的一点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作于点E，作于点G，先根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，gj 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，然后根据等边对等角得到的度数即可．
阅卷人 三、解答题（共5题，共50分）
得分
12．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，．
（1）求度数；
（2）求的周长．
【答案】（1）解：，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
又∵为的中点，
∴平分，
∴，
故度数为
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得：，再由为的中点，可得平分，即可求解；
（2）根据平行线的性质得：，从而得到，进而得到，即可求解．
（1）解：∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
又∵为的中点，
∴平分，
∴，
故度数为．
（2）解∶∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
13．（2023·荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD=CE．
【答案】证明：如图，
BD为等边△ABC的中线
，
BD=DE
∠E=∠3=
CD=CE
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得∠1=60°，BD⊥AC，则∠3=30°，由作图可得BD=DE，则∠E=∠3=3°，由外角的性质可得∠2+∠E=∠1，求出∠2的度数，推出∠E=∠2，据此证明.
14．（2022·温州）如图， BD 是 △ABC的角平分线， DE∥BC ，交 AB 于点E．
（1）求证： ．
（2）当AB=AC时，请判断 CD 与ED的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
由（1）得 ，
∴ ，
∴
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠CBD=∠EBD，利用平行线的性质去证明∠EBD=∠EDB.
（2）利用等边对等角可证得∠C=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，从而可推出∠ADE=∠AED；利用等角对等边可知AE=AD，由此可证得DC=BE；再利用等角对等边可推出BE=ED，即可证得结论.
15．（2021·徐州）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使 两点重合.点 落在点 处.已知 ， .
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求线段 的长.
【答案】（1）证明： 四边形 是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）解： 四边形 是矩形
，
设 ，则
因为折叠，则 ， ，
在 中
即
解得：
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得，由折叠可得，从而得出
，利用等腰三角形的判定即证结论；
（2）由矩形的性质可得 ， ，设 ，可得， 由折叠可得 ， ， ，在 中，由可得关于x的方程，求解即可.
16．（2024八上·中山期中）【探究学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，平分，则与 （填“是”或“不是”）互为“类似三角形”．
（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线；
【概念应用】
（3）在中，，是的完美分割线，直接写出的度数．
【答案】（1）是；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，，
∴为的完美分割线．
（3）或或或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴与互为“类似三角形”．
故答案为：是．
（3）（Ⅰ）当是等腰三角形时，
①如图1，
当时，则，
∴，
∵，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图2，
当时，则，
此时，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当是等腰三角形时，
①如图3，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；，，
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
②如图4，
当，时，
∴，
由，得，
∴，
∴，
∴，；
∴，，
∵，
∴，
∴此种情况符合题意；
③当时，这种情况不存在；
综上所述：或或或．
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角内角和定理．
（1）先求出、根据AB=AC，利用三角形的内角和定理可求出、，再根据平分， 利用角平分线的性质可求出， 再根据， 可求出，再根据“类似三角形”的定义可得出结论；
（2）利用角的运算和角平分线的性质可得：，，进而可推出 ，再根据“完美分割线”的定义可证明结论；
（3）根据题意可两种情况：当是等腰三角形和是等腰三角形.当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论；当是等腰三角形时，也分为三种情形： 当时 ；当；当时；利用三角形的内角和定理，利用角的运算，分别计算可求出的度数．
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