第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（3）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共25分）
得分
1．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．（2023·绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A． B．6 C．8 D．
3．（2022·鞍山）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·南县）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
5．（2018·福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
阅卷人 二、填空题（每题5分，共25分）
得分
6．（2022·朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ．
7．（2020·阜新）如图，直线a，b过等边三角形 顶点A和C，且 ， ，则 的度数为 .
8．（2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为： 米，则 米.
9．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°.点D在边AB上，且BD=BC，连结CD，则∠ACD的大小为 .
10．（2024八上·沅江开学考）如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ．
阅卷人 三、解答题（共5题，共50分）
得分
11．（2024八上·长兴期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD=6，求DF的长.
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.
（2）已知PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ.判断△PQC的形状，并说明理由.
13．（2022·龙东）和都是等边三角形．
（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
（2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
14．（2021·绍兴）如图，在 中， ，点D，E分別在边AB，AC上， ，连结CD，BE.
（1）若 ，求 ， 的度数.
（2）写出 与 之间的关系，并说明理由.
15．（2024八上·绿园期末）如图
（1）【感知】如图①，是等边三角形，点是边上一点（点不与点、重合），作，使角的两边分别交边、于点、，且．若，则的大小是 度；
（2）【探究】如图②，是等边三角形，点是边上一点（点不与点、重合），作，使角的两边分别交边、于点、，且．求证：；
（3）【应用】如图③，是等边三角形，，点是边的中点，作，使角的两边分别交边、于点、，且．则四边形的周长为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质得到，，进而得到，，，再结合题意进行角的运算得到，，进而运用勾股定理即可求出AD，从而即可求解。
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180° 40° 60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝80°。
4．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由等边三角形的性质可得∠ECA＝∠EAC＝60°，据此求解.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质，可得出AD是BC的垂直平分线及∠ACB=60°，可证BE=CE，就可求出∠ECB的度数，然后利用∠ACE=∠ACB﹣∠ECB，可求解。
6．【答案】3或
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，点在的右边，
与都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
，
，
，
，
，
，
等边三角形的边长为3，
如图，点在的左边，
同上，，
，，
，
过点作交的延长线于点，则，
，，
，
在中，，
，
，
或（舍去），
，
等边三角形的边长为，
故答案为：3或．
【分析】分两种情况：①点在的右边，②点在的左边，再分别画出图形并利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可。
7．【答案】102°
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： 三角形ABC为等边三角形
故答案为： .
【分析】根据题意可求出 的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案.
8．【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米.
故答案为：48.
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答.
9．【答案】15°
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠B=60°， BD=BC .
∴△BCD为等边三角形
∴∠BDC=60°
∴ ∠ACD =∠BDC- ∠A=60°-45°=15°
故答案为：15°.
【分析】根据等边三角形的判定及三角形外角的性质即可计算出答案.
10．【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解∶∵和都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
故答案为∶3．
【分析】先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合“的周长为12”可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
11．【答案】（1）解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
（2）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF；
∴△CEF 为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝6．
又∵CE＝CF，
∴CF＝6．
∴DF＝DC+CF＝6+6＝12
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行得到∠EDC度数，进而求解∠F；
（2）根据∠ACB=60°及∠F的度数求得∠CEF的度数，结合等角对等边判断即可；
（3）先判断△EDC为等边三角形，结合（2）可知DC=CE=CF，进而求解.
12．【答案】（1）解：AP=CQ．
理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ．
（2）解：△PQC是直角三角形．
理由如下：∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ=PB=4．
又CQ=AP=3，PC=5，
∴PQ2+QC2=42+32=25=PC2，
∴△PQC是直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△BPQ为等边三角形，根据等边三角形的三个角都相等得出∠ABC=60°，推得∠CBQ=∠ABP，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP≌△CBQ，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
（2））根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△PBQ是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出PQ=PB=4，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角得出△PQC是直角三角形．
13．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
（2）解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再结合PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得到或；
（2）在BP上截取，连接AF，先利用“SAS”证明可得，，再利用角的运算求出，证明出是等边三角形，可得，最后利用线段的和差可得；
（3）在CP上截取，连接AF，先利用“SAS”证明可得，，再利用角的运算求出，证明出是等边三角形，可得，最后利用线段的和差可得，即。
14．【答案】（1）解： ， ，
.
在 中， ，
，
，
，
.
.
（2）解： ， 的关系： .
理由如下：设 ， .
在 中， ，
，
.
，
在 中， ，
.
.
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质求得∠BDC=∠BCD= 50° ，然后根据三角形的内角定理求出∠ACB=60°，结合BC=CE得出△BCE是等边三角形，则知∠EBC = 60°；
(2) 设∠BEC=α，∠BDC= β，根据统一量的方法把α和β用含∠ABE的代数式表示，由三角形的外角和定理得α=40° +∠ABE，根据等腰三角形的性质得到∠CBE=∠BEC=α，求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A十2∠ABE= 40°+2∠ABE，再根据等腰三角形的性质求得β=70°-∠ABE，则可得出结论.
15．【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，
，
，且，
，
在和中，
，
，
（3）4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）∵是等边三角形，，
∴，，
∵是的中点，，
∴，
由探究可知，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，进而结合题意即可得到∠FDC的度数，从而即可求解；
（2）先根据等边三角形的性质得到， 进而结合题意证明，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（3）先根据等边三角形的性质得到，，进而根据中点结合题意得到，再根据三角形全等的性质得到，，从而根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
1 / 1第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（3）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共25分）
得分
1．（2024·辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
2．（2023·绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质得到，，进而得到，，，再结合题意进行角的运算得到，，进而运用勾股定理即可求出AD，从而即可求解。
3．（2022·鞍山）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180° 40° 60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝80°。
4．（2021·南县）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由等边三角形的性质可得∠ECA＝∠EAC＝60°，据此求解.
5．（2018·福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质，可得出AD是BC的垂直平分线及∠ACB=60°，可证BE=CE，就可求出∠ECB的度数，然后利用∠ACE=∠ACB﹣∠ECB，可求解。
阅卷人 二、填空题（每题5分，共25分）
得分
6．（2022·朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ．
【答案】3或
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，点在的右边，
与都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
，
，
，
，
，
，
等边三角形的边长为3，
如图，点在的左边，
同上，，
，，
，
过点作交的延长线于点，则，
，，
，
在中，，
，
，
或（舍去），
，
等边三角形的边长为，
故答案为：3或．
【分析】分两种情况：①点在的右边，②点在的左边，再分别画出图形并利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可。
7．（2020·阜新）如图，直线a，b过等边三角形 顶点A和C，且 ， ，则 的度数为 .
【答案】102°
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： 三角形ABC为等边三角形
故答案为： .
【分析】根据题意可求出 的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案.
8．（2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为： 米，则 米.
【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米.
故答案为：48.
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答.
9．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°.点D在边AB上，且BD=BC，连结CD，则∠ACD的大小为 .
【答案】15°
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠B=60°， BD=BC .
∴△BCD为等边三角形
∴∠BDC=60°
∴ ∠ACD =∠BDC- ∠A=60°-45°=15°
故答案为：15°.
【分析】根据等边三角形的判定及三角形外角的性质即可计算出答案.
10．（2024八上·沅江开学考）如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解∶∵和都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
故答案为∶3．
【分析】先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合“的周长为12”可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可.
阅卷人 三、解答题（共5题，共50分）
得分
11．（2024八上·长兴期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD=6，求DF的长.
【答案】（1）解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
（2）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF；
∴△CEF 为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝6．
又∵CE＝CF，
∴CF＝6．
∴DF＝DC+CF＝6+6＝12
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行得到∠EDC度数，进而求解∠F；
（2）根据∠ACB=60°及∠F的度数求得∠CEF的度数，结合等角对等边判断即可；
（3）先判断△EDC为等边三角形，结合（2）可知DC=CE=CF，进而求解.
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.
（2）已知PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ.判断△PQC的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：AP=CQ．
理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ．
（2）解：△PQC是直角三角形．
理由如下：∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ=PB=4．
又CQ=AP=3，PC=5，
∴PQ2+QC2=42+32=25=PC2，
∴△PQC是直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△BPQ为等边三角形，根据等边三角形的三个角都相等得出∠ABC=60°，推得∠CBQ=∠ABP，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP≌△CBQ，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
（2））根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△PBQ是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出PQ=PB=4，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角得出△PQC是直角三角形．
13．（2022·龙东）和都是等边三角形．
（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
（2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵点P与点A重合，
∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
（2）解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AC=AB，CP=BF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
∵AB=AC，BP=CF，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再结合PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得到或；
（2）在BP上截取，连接AF，先利用“SAS”证明可得，，再利用角的运算求出，证明出是等边三角形，可得，最后利用线段的和差可得；
（3）在CP上截取，连接AF，先利用“SAS”证明可得，，再利用角的运算求出，证明出是等边三角形，可得，最后利用线段的和差可得，即。
14．（2021·绍兴）如图，在 中， ，点D，E分別在边AB，AC上， ，连结CD，BE.
（1）若 ，求 ， 的度数.
（2）写出 与 之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）解： ， ，
.
在 中， ，
，
，
，
.
.
（2）解： ， 的关系： .
理由如下：设 ， .
在 中， ，
，
.
，
在 中， ，
.
.
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质求得∠BDC=∠BCD= 50° ，然后根据三角形的内角定理求出∠ACB=60°，结合BC=CE得出△BCE是等边三角形，则知∠EBC = 60°；
(2) 设∠BEC=α，∠BDC= β，根据统一量的方法把α和β用含∠ABE的代数式表示，由三角形的外角和定理得α=40° +∠ABE，根据等腰三角形的性质得到∠CBE=∠BEC=α，求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A十2∠ABE= 40°+2∠ABE，再根据等腰三角形的性质求得β=70°-∠ABE，则可得出结论.
15．（2024八上·绿园期末）如图
（1）【感知】如图①，是等边三角形，点是边上一点（点不与点、重合），作，使角的两边分别交边、于点、，且．若，则的大小是 度；
（2）【探究】如图②，是等边三角形，点是边上一点（点不与点、重合），作，使角的两边分别交边、于点、，且．求证：；
（3）【应用】如图③，是等边三角形，，点是边的中点，作，使角的两边分别交边、于点、，且．则四边形的周长为 ．
【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，
，
，且，
，
在和中，
，
，
（3）4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）∵是等边三角形，，
∴，，
∵是的中点，，
∴，
由探究可知，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，进而结合题意即可得到∠FDC的度数，从而即可求解；
（2）先根据等边三角形的性质得到， 进而结合题意证明，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（3）先根据等边三角形的性质得到，，进而根据中点结合题意得到，再根据三角形全等的性质得到，，从而根据等边三角形的性质结合题意即可求解。
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