第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（4）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共25分）
得分
1．（2024·武威）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，则AC的长为 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∠ABD=60°，
是等边三角形，
AO=AB=2，
AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等得到AO=BO=CO=DO，再证△ABO是等边三角形，得出AO=AB=2，进而可得AC=4.
2．（2019·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2.
故答案为：A.
【分析】将各选项中n的值代入只要满足n2-1≥0，即可得出选项。
3．下列条件不能说明△ABC是等边三角形的是( ).
A．AB=BC=AC B．∠A=∠B=∠C
C．∠A=∠B，AC=BC D．∠A=∠B，AB=BC
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意；
B、∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意；
C、∵AC=BC，∴∠A=∠B，故∴△ABC是等腰三角形，故C选项符合题意；
D、∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠A=∠B，故∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，等边度等角逐项分析即可求解.
4．（2024九上·东阳开学考）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A． B．a与b不平行 C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交，
故答案为：B.
【分析】根据反证法步骤：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定；则先假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
5．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；
由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；
证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．
阅卷人 二、填空题（每题5分，共25分）
得分
6．（2024八上·余杭期中）如图，四边形ABCD中，平分，垂足为，且，则的度数是 .
【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵
∴
∵AC平分∠DAB，
∴
在和中，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：18°.
【分析】根据题意利用"AAS"证明则r然后根据等腰三角形的性质求出∠ACD的度数，最后根据垂直的定义即可求解.
7．用反证法证明命题 “一个三角形中不能有两个直角” 的过程可归纳为以下三个步骤：
①， 这与三角形内角和为 相矛盾， 则 不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设 中有两个角是直角， 不妨设 ．
正确的顺序为
【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，第一步是先假设，③描述符合；第二步，从假设出发推出矛盾，①描述正好是从描述出发，推出三角形内角和大于180°的矛盾结论；第三步，得出结论，②描述符合.
故答案为：③①②.
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点表示的刻度分别为，则线段的长为 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠A=60°，∠ACB=
∴△ABC为等边三角形
∵BC=2
∴AB=BC=2
故答案为：2
【分析】由题意可得∠A=60°，根据直线平行性质可得∠ACB=，再根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则AB=BC=2，即可求出答案.
9．（2024八下·来宾期中）如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得到，，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形证明△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
10． 用反证法证明命题： "已知 ， 求证： ． ”第一步应先假设 .
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题： "已知 ， 求证： ． ”第一步应先假设.
故答案为：.
【分析】用反证法证明命题，先假设结论的反面成立.
阅卷人 三、解答题（共5题，共50分）
得分
11．（2024八上·江门期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：是等边三角形．
【答案】（1）解：在中，，，
，
在中，，
（2）证明：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
在中，，，是边上的中线，
，
，
是等边三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定.
（1）根据在中，，，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据，利用三角形内角和定理可得：，代入数据进行计算可求出的度数；
（2）根据的垂直平分线交于，交于，利用线段垂直平分线性质可得：，根据等边对等角可得：，利用角的运算可得：，再根据等腰三角形性质可推出，则，利用等边三角形的判定定理可证明结论．
（1）解：在中，，，
，
在中，，
；
（2）证明：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
在中，，，是边上的中线，
，
，
是等边三角形．
12．（2023八上·期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO＝12，求OE的长．
【答案】（1）解：△CDE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C＝60°，CE＝BC，CD＝AC；而BC＝AC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：∵ △ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AE、BD分别是△ABC中BC与AC边上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴AO＝2OE，
∵AO＝12，
∴OE＝AO＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得∠C=60°，CD＝CE，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△CDE是等边三角形；
（2）根据三角形重心的性质得到：进行计算即可求解.
13．用反证法证明： 等腰三角形 的底角 和 必定是锐角．
【答案】证明：假设等腰△ABC的底角∠B与∠C都不是锐角，
则∠B=∠C≥90°，
∴∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾，
∴假设错误，
∴等腰△ABC的底角∠B与∠C都是锐角.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】先假设结论的反面“等腰△ABC的底角∠B与∠C都不是锐角”成立，然后冲这个假设出发，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理进行推理，从而得出矛盾，再根据矛盾肯定假设不成立，命题的结论成立.
14．（2024八下·榕江月考）如图所示，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO=FO.
（1）写出一对相等的角；
（2）求证：△BDE是等边三角形；
（3）若AC=7，FC=3，求OC的长.
【答案】（1）解：∠BED=∠ACB，答案不唯一
（2）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB.
∵DE∥AC，
∴∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，
∴∠B=∠BDE=∠DEB，
∴△BDE是等边三角形.
（3）解：∵DE∥AC，
∴∠EDO=∠CFO.
在△DOE和△FOC中，
∴△DOE≌△FOC(ASA)，
∴DE=CF，EO=CO.
∵△ABC，△BDE均是等边三角形，
∴BC=AC=7，BE=DE=CF=3，
∴EC=BC-BE=7-3=4，
∴OC=EC=2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用等边三角形性质或对顶角的性质分析求解即可；
（2）利用等边三角形的性质和平行线的性质及等量代换可得 ∠B=∠BDE=∠DEB， 即可证出△BDE是等边三角形；
（3）先利用“ASA”证出△DOE≌△FOC，可得DE=CF，EO=CO，再利用线段的和差求出EC=BC-BE=7-3=4，最后求出 OC=EC=2即可.
15．（2024七下·南昌期末）如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．
（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边三角形，画图见解析；
（2），，；
（3）①，，；②均不存在
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：（1）等边三角形，如图2所示，理由如下：
由题意得：
同理可知，
∴
∴是等边三角形；
（2）如图3所示，
∵∠A=50°
∴
∴，
∵
∴，
即
解得∠ADF=65°
∴，
∴，同理，
∴，，；
（3）如图1①在和中，由三角形内角和定理，得：
，
∵
∴
解得
∴
∴，
同理可证，；
②在直角三角形中，当时，要使，则
∴在直角三角形中，不存在反射三角形
在钝角三角形中，当时，要使，则
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．
【分析】 （1）根据等边三角形的反射三角形的关系，可求出反射三角形各内角的度数，即可推出 反射三角形的形状 ；
（2）先利用三角形内角和为180°，得到，根据三角形内角和为180°可列出关于∠ADF的等式，并求出∠ADF=65°，在根据平角度数我180°，即可 求出各个角的度数 ；
（3）①根据三角形内角和定理，分别表示出和，然后根据三角形内角和定理可得=，即可求证；
②根据反射三角形对角的关系及①中结论，在结合三角形内角和为180°，即可判断 在直角三角形和钝角三角形中，不存在反射三角形 ．
1 / 1第一章《三角形的证明》1.等腰三角形（4）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
阅卷人 一、选择题（每题5分，共25分）
得分
1．（2024·武威）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，则AC的长为 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2019·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
3．下列条件不能说明△ABC是等边三角形的是( ).
A．AB=BC=AC B．∠A=∠B=∠C
C．∠A=∠B，AC=BC D．∠A=∠B，AB=BC
4．（2024九上·东阳开学考）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A． B．a与b不平行 C． D．
5．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题（每题5分，共25分）
得分
6．（2024八上·余杭期中）如图，四边形ABCD中，平分，垂足为，且，则的度数是 .
7．用反证法证明命题 “一个三角形中不能有两个直角” 的过程可归纳为以下三个步骤：
①， 这与三角形内角和为 相矛盾， 则 不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设 中有两个角是直角， 不妨设 ．
正确的顺序为
8．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点表示的刻度分别为，则线段的长为 ．
9．（2024八下·来宾期中）如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为 ．
10． 用反证法证明命题： "已知 ， 求证： ． ”第一步应先假设 .
阅卷人 三、解答题（共5题，共50分）
得分
11．（2024八上·江门期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：是等边三角形．
12．（2023八上·期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO＝12，求OE的长．
13．用反证法证明： 等腰三角形 的底角 和 必定是锐角．
14．（2024八下·榕江月考）如图所示，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO=FO.
（1）写出一对相等的角；
（2）求证：△BDE是等边三角形；
（3）若AC=7，FC=3，求OC的长.
15．（2024七下·南昌期末）如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．
（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∠ABD=60°，
是等边三角形，
AO=AB=2，
AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等得到AO=BO=CO=DO，再证△ABO是等边三角形，得出AO=AB=2，进而可得AC=4.
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2.
故答案为：A.
【分析】将各选项中n的值代入只要满足n2-1≥0，即可得出选项。
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意；
B、∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意；
C、∵AC=BC，∴∠A=∠B，故∴△ABC是等腰三角形，故C选项符合题意；
D、∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠A=∠B，故∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，等边度等角逐项分析即可求解.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交，
故答案为：B.
【分析】根据反证法步骤：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定；则先假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
5．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；
由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；
证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．
6．【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵
∴
∵AC平分∠DAB，
∴
在和中，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：18°.
【分析】根据题意利用"AAS"证明则r然后根据等腰三角形的性质求出∠ACD的度数，最后根据垂直的定义即可求解.
7．【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，第一步是先假设，③描述符合；第二步，从假设出发推出矛盾，①描述正好是从描述出发，推出三角形内角和大于180°的矛盾结论；第三步，得出结论，②描述符合.
故答案为：③①②.
【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠A=60°，∠ACB=
∴△ABC为等边三角形
∵BC=2
∴AB=BC=2
故答案为：2
【分析】由题意可得∠A=60°，根据直线平行性质可得∠ACB=，再根据等边三角形判定定理可得△ABC为等边三角形，则AB=BC=2，即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得到，，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形证明△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
10．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题： "已知 ， 求证： ． ”第一步应先假设.
故答案为：.
【分析】用反证法证明命题，先假设结论的反面成立.
11．【答案】（1）解：在中，，，
，
在中，，
（2）证明：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
在中，，，是边上的中线，
，
，
是等边三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定.
（1）根据在中，，，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据，利用三角形内角和定理可得：，代入数据进行计算可求出的度数；
（2）根据的垂直平分线交于，交于，利用线段垂直平分线性质可得：，根据等边对等角可得：，利用角的运算可得：，再根据等腰三角形性质可推出，则，利用等边三角形的判定定理可证明结论．
（1）解：在中，，，
，
在中，，
；
（2）证明：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
在中，，，是边上的中线，
，
，
是等边三角形．
12．【答案】（1）解：△CDE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C＝60°，CE＝BC，CD＝AC；而BC＝AC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：∵ △ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AE、BD分别是△ABC中BC与AC边上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴AO＝2OE，
∵AO＝12，
∴OE＝AO＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得∠C=60°，CD＝CE，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△CDE是等边三角形；
（2）根据三角形重心的性质得到：进行计算即可求解.
13．【答案】证明：假设等腰△ABC的底角∠B与∠C都不是锐角，
则∠B=∠C≥90°，
∴∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾，
∴假设错误，
∴等腰△ABC的底角∠B与∠C都是锐角.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】先假设结论的反面“等腰△ABC的底角∠B与∠C都不是锐角”成立，然后冲这个假设出发，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理进行推理，从而得出矛盾，再根据矛盾肯定假设不成立，命题的结论成立.
14．【答案】（1）解：∠BED=∠ACB，答案不唯一
（2）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB.
∵DE∥AC，
∴∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，
∴∠B=∠BDE=∠DEB，
∴△BDE是等边三角形.
（3）解：∵DE∥AC，
∴∠EDO=∠CFO.
在△DOE和△FOC中，
∴△DOE≌△FOC(ASA)，
∴DE=CF，EO=CO.
∵△ABC，△BDE均是等边三角形，
∴BC=AC=7，BE=DE=CF=3，
∴EC=BC-BE=7-3=4，
∴OC=EC=2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用等边三角形性质或对顶角的性质分析求解即可；
（2）利用等边三角形的性质和平行线的性质及等量代换可得 ∠B=∠BDE=∠DEB， 即可证出△BDE是等边三角形；
（3）先利用“ASA”证出△DOE≌△FOC，可得DE=CF，EO=CO，再利用线段的和差求出EC=BC-BE=7-3=4，最后求出 OC=EC=2即可.
15．【答案】（1）等边三角形，画图见解析；
（2），，；
（3）①，，；②均不存在
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：（1）等边三角形，如图2所示，理由如下：
由题意得：
同理可知，
∴
∴是等边三角形；
（2）如图3所示，
∵∠A=50°
∴
∴，
∵
∴，
即
解得∠ADF=65°
∴，
∴，同理，
∴，，；
（3）如图1①在和中，由三角形内角和定理，得：
，
∵
∴
解得
∴
∴，
同理可证，；
②在直角三角形中，当时，要使，则
∴在直角三角形中，不存在反射三角形
在钝角三角形中，当时，要使，则
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．
【分析】 （1）根据等边三角形的反射三角形的关系，可求出反射三角形各内角的度数，即可推出 反射三角形的形状 ；
（2）先利用三角形内角和为180°，得到，根据三角形内角和为180°可列出关于∠ADF的等式，并求出∠ADF=65°，在根据平角度数我180°，即可 求出各个角的度数 ；
（3）①根据三角形内角和定理，分别表示出和，然后根据三角形内角和定理可得=，即可求证；
②根据反射三角形对角的关系及①中结论，在结合三角形内角和为180°，即可判断 在直角三角形和钝角三角形中，不存在反射三角形 ．
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