第一章《三角形的证明》2.直角三角形（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2022·上海市）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
2．（2021·贵州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 角的三角板的直角边和含 角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·连云港）如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点A落在对角线 上的 处.若 ，则 等于（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024八上·中山期中）已知：如图，在和中，，，，连接，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④
5．（2024九上·长沙开学考）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
7．（2023·攀枝花）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．
8．（2019·永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
9．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．
10．（2024八上·杭州期中）命题“等边三角形有一个角是”的逆命题是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八上·鄞州期中）如图，点D在中，，，，，．
（1）求长；
（2）求图中阴影部分的面积．
12．（2024八上·江门期中）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
13．（2024八上·中山期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
14．（2024八上·浙江期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理.
（1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB= .
（2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°.
求证：AD平分∠BAC.
（3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD.
求△BDE和△CDF的面积和.
15．（2024八下·浦北月考） 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，
∴∠AGE=∠BGF=45°，
∵∠1=∠E+∠AGE，
∴∠1=30°+45°=75°，
故答案为：D.
【分析】由题意可得∠AGE=∠BGF=45°，利用三角形外角的性质可得∠1=∠E+∠AGE，据此即得结论.
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°- =66°，
∵将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处，
∴∠EBA’= ∠ABD =33°，
∴ =90°-∠EBA’= ，
故答案为：C.
【分析】先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到∠EBA’=33°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵，
∴，即，
∵在和中，
，
∴，
∴，①正确；
②.已知条件无法证明，②错误；
③.∵，
∴，③正确；
④.∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则，④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质．利用角的运算可得：， 再根据，，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的对应边相等可得，据此可判断说法①；已知条件无法证明，据此判断说法②；利用周角减去两个直角可得，据此可判断说法③；根据∵为等腰直角三角形，利用等要直角三角形的性质可得：，进而可得，根据，利用全等三角形的性质可得：，据此可推出， 进而可得，进而可证明 ，据此可判断说法④．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△DEF由△DEA翻折而成，所以EF=AE=5，
在Rt△BEF中，因为EF=5，BF=3，所以，
则AB=AE+BE=5+4=9，
因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=9
故选：C．
【分析】根据图形的翻折变换，得到EF=AE=5，在直角△BEF中，利用勾股定理求得BE=4，再结合矩形的性质，即可求解.
6．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
7．【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的性质并结合题意可得的角度，再运用角平分线的性质得，进而进行角的运算即可求解。
8．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为：4．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示，根据角平分线的性质可得DM＝DE＝2.根据三角形的内角和定理可得∠OFE＝30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出DF的长.
9．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
10．【答案】有一个角是的三角形是等边三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“等边三角形有一个角是”，即如果一个三角形为等边三角形，那么有一个角为60°，则题设为一个三角形为等边三角形，结论为有一个角为60°；
∴ 逆命题为有一个角为60°的三角形是等边三角形.
故答案为：有一个角是的三角形是等边三角形.
【分析】根据逆命题的定义即可求得.
11．【答案】（1）解：，，，
，
答：长是5；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，，
．
故图中阴影部分的面积为24．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求算术平方根
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积．
（1）根据，，，利用勾股定理可得：，代入数据进行计算可求出的长；
（2）通过计算可得：，根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，再根据，利用三角形的面积公式进行计算可求出答案．
（1）解：，，，
，
答：长是5；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，，
．
故图中阴影部分的面积为24．
12．【答案】（1）解：在中，，，
，
是边上的高，
，
；
（2）解：是边上的高，且，，
，
，
，
是边上的中线，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的面积．
（1）先利用三角形内角和定理求出，再根据是边上的高可得：，代入数据进行计算可求出得度数；
（2）先利用三角形的面积公式可求出，再根据是边上的中线可得，代入数据进行计算可求出的长．
（1）解：在中，，，
，
是边上的高，
，
；
（2）解：是边上的高，且，，
，
，
，
是边上的中线，
．
13．【答案】（1）证明：
；
（2）解：
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质。（1）根据题意利用角的运算可推出，再根据 AB＝AD，AE＝AC ，利用全等三角形的判定定理SAS可证明△ABC≌△ADE；
（2）根据，利用等腰直角三角形的性质可得：
（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数，根据△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质可得：，根据垂直的定义，利用角的运算可得：，再利用角的运算可得：，再代入数据进行计算可求出∠FAE的度数.
（1）证明：
；
（2）解：
．
14．【答案】（1）1
（2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F，
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DCP=∠DBQ
∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90°
∴△DCP≌△DBQ（AAS）
∴DP=DQ
∵DP⊥AC，DQ⊥AB
∴AD 平分∠EAB
（3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G
∵AB=AC ，D 为 BC 的中点
∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC
∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC
∴DH=DG
∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC
∴△DHE≌△DGF（AAS）
∴DE=DF
可证△BDH≌△CDG
由 可得
和 的面积和 的面积 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1) AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB， CD=1
.
故答案为：1.
【分析】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)作 DP⊥AC ，DQ⊥AB，可得∠DPC=∠DQB=90° ，由补角的性质可得∠DCP=∠DBQ，进而通过AAS判定△DCP≌△DBQ得到DP=DQ，即可证得AD 平分∠EAB.
(3) 作 DH⊥AB，DG⊥AC，利用等腰三角形的性质可得DA 平分∠BAC，进而证得DH=DG，再通过AAS判定△DHE≌△DGF，证得DE=DF，利用HL可判定△BDH≌△CDG，故 和 的面积和 的面积，然后通过等面积法求得DH的长度，再由勾股定理计算出BH的长度，即可求得△BDE和△CDF的面积和.
15．【答案】（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠1=∠2，根据AAS判定可得BF=AE，即可求得；
（2）根据的性质可得 ，，，再根据四边形ACBD的面积正方形CEDF的面积列出式子，即可证明勾股定理.
1 / 1第一章《三角形的证明》2.直角三角形（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2022·上海市）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2021·贵州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 角的三角板的直角边和含 角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，
∴∠AGE=∠BGF=45°，
∵∠1=∠E+∠AGE，
∴∠1=30°+45°=75°，
故答案为：D.
【分析】由题意可得∠AGE=∠BGF=45°，利用三角形外角的性质可得∠1=∠E+∠AGE，据此即得结论.
3．（2020·连云港）如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点A落在对角线 上的 处.若 ，则 等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°- =66°，
∵将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处，
∴∠EBA’= ∠ABD =33°，
∴ =90°-∠EBA’= ，
故答案为：C.
【分析】先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到∠EBA’=33°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解.
4．（2024八上·中山期中）已知：如图，在和中，，，，连接，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵，
∴，即，
∵在和中，
，
∴，
∴，①正确；
②.已知条件无法证明，②错误；
③.∵，
∴，③正确；
④.∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则，④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质．利用角的运算可得：， 再根据，，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的对应边相等可得，据此可判断说法①；已知条件无法证明，据此判断说法②；利用周角减去两个直角可得，据此可判断说法③；根据∵为等腰直角三角形，利用等要直角三角形的性质可得：，进而可得，根据，利用全等三角形的性质可得：，据此可推出， 进而可得，进而可证明 ，据此可判断说法④．
5．（2024九上·长沙开学考）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△DEF由△DEA翻折而成，所以EF=AE=5，
在Rt△BEF中，因为EF=5，BF=3，所以，
则AB=AE+BE=5+4=9，
因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=9
故选：C．
【分析】根据图形的翻折变换，得到EF=AE=5，在直角△BEF中，利用勾股定理求得BE=4，再结合矩形的性质，即可求解.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
7．（2023·攀枝花）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的性质并结合题意可得的角度，再运用角平分线的性质得，进而进行角的运算即可求解。
8．（2019·永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为：4．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示，根据角平分线的性质可得DM＝DE＝2.根据三角形的内角和定理可得∠OFE＝30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出DF的长.
9．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
10．（2024八上·杭州期中）命题“等边三角形有一个角是”的逆命题是 ．
【答案】有一个角是的三角形是等边三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“等边三角形有一个角是”，即如果一个三角形为等边三角形，那么有一个角为60°，则题设为一个三角形为等边三角形，结论为有一个角为60°；
∴ 逆命题为有一个角为60°的三角形是等边三角形.
故答案为：有一个角是的三角形是等边三角形.
【分析】根据逆命题的定义即可求得.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八上·鄞州期中）如图，点D在中，，，，，．
（1）求长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：，，，
，
答：长是5；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，，
．
故图中阴影部分的面积为24．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求算术平方根
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积．
（1）根据，，，利用勾股定理可得：，代入数据进行计算可求出的长；
（2）通过计算可得：，根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，再根据，利用三角形的面积公式进行计算可求出答案．
（1）解：，，，
，
答：长是5；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，，
．
故图中阴影部分的面积为24．
12．（2024八上·江门期中）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，．
（1）求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
，
是边上的高，
，
；
（2）解：是边上的高，且，，
，
，
，
是边上的中线，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的面积．
（1）先利用三角形内角和定理求出，再根据是边上的高可得：，代入数据进行计算可求出得度数；
（2）先利用三角形的面积公式可求出，再根据是边上的中线可得，代入数据进行计算可求出的长．
（1）解：在中，，，
，
是边上的高，
，
；
（2）解：是边上的高，且，，
，
，
，
是边上的中线，
．
13．（2024八上·中山期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
【答案】（1）证明：
；
（2）解：
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质。（1）根据题意利用角的运算可推出，再根据 AB＝AD，AE＝AC ，利用全等三角形的判定定理SAS可证明△ABC≌△ADE；
（2）根据，利用等腰直角三角形的性质可得：
（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数，根据△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质可得：，根据垂直的定义，利用角的运算可得：，再利用角的运算可得：，再代入数据进行计算可求出∠FAE的度数.
（1）证明：
；
（2）解：
．
14．（2024八上·浙江期中）学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理.
（1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB= .
（2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°.
求证：AD平分∠BAC.
（3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD.
求△BDE和△CDF的面积和.
【答案】（1）1
（2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F，
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DCP=∠DBQ
∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90°
∴△DCP≌△DBQ（AAS）
∴DP=DQ
∵DP⊥AC，DQ⊥AB
∴AD 平分∠EAB
（3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G
∵AB=AC ，D 为 BC 的中点
∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC
∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC
∴DH=DG
∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC
∴△DHE≌△DGF（AAS）
∴DE=DF
可证△BDH≌△CDG
由 可得
和 的面积和 的面积 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1) AD平分∠CAB，DC⊥AC，DB⊥AB， CD=1
.
故答案为：1.
【分析】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)作 DP⊥AC ，DQ⊥AB，可得∠DPC=∠DQB=90° ，由补角的性质可得∠DCP=∠DBQ，进而通过AAS判定△DCP≌△DBQ得到DP=DQ，即可证得AD 平分∠EAB.
(3) 作 DH⊥AB，DG⊥AC，利用等腰三角形的性质可得DA 平分∠BAC，进而证得DH=DG，再通过AAS判定△DHE≌△DGF，证得DE=DF，利用HL可判定△BDH≌△CDG，故 和 的面积和 的面积，然后通过等面积法求得DH的长度，再由勾股定理计算出BH的长度，即可求得△BDE和△CDF的面积和.
15．（2024八下·浦北月考） 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠1=∠2，根据AAS判定可得BF=AE，即可求得；
（2）根据的性质可得 ，，，再根据四边形ACBD的面积正方形CEDF的面积列出式子，即可证明勾股定理.
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