第一章《三角形的证明》2.直角三角形（2）2.直角三角形（2）
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八上·曾都期中）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的周长是（ ）
A．6 B．10 C．12 D．14
2．（2024八上·汕头期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC，连接AO，则图中一共有（ ）对全等三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024八上·香洲期中）如图，已知则可判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·织金期末）如图，于点，于点，且，如果添上一个条件后，可以直接利用“”来证明≌，则这个条件应该是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八上·江津期中）如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是 ．
7．（2024八上·章贡开学考）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
8．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
9．如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则 .
10．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在中，，的平分线交边于点D，于点E，点F在边上，若，，则线段AB的长是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八上·温州期中）如图，四边形ABCD中，AC是对角线，∠D=90°，∠B=∠BCD，AE⊥BC，AD=AE，AB=AF.
（1）求证：∠BCD=∠AFD
（2）若AB=3，求FC的长，
12．（2024八上·临海期中）如图，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F，在BC上，使DF=AD.
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△FDC.
（2）请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由.
13．（2024八下·汝城月考）如图，已知相交于点O，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
14．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
15．（2024八下·临川月考）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，
∴（角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵
∴
∴
∵
∴
∴的周长
故选：C．
【分析】
本题主要考查等腰直角三角形的性质和角平分线的性质；解题关键是利用角平分线的性质得到全等三角形，进而求出相关线段的长度.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB=OC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，∠DOB=∠EOC，
∵BO=CO，
在△DOB和△EOC中，
∴△DOB≌△EOC（AAS）；
②由①得：△DOB≌△EOC；∠ADO=∠AEO=90°，
∴OD=OE，BD=CE；
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；
③由②得：△ADO≌△AEO
∴AD=AE，∠DAO=∠EAO；
由①得：△DOB≌△EOC，
∴BD=CE，
∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC，
在△AOB和△AOC中，
∴△ABO≌△ACO（SAS）；
④由③得：AD=AE，AC=AB，∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
综上可得：共有四对全等三角形．
故答案为：C．
【分析】共有四对．①结合已知，用角角边可证△DOB≌△EOC；②结合已知和①的结论，用HL定理可证Rt△ADO≌Rt△AEO；③结合已知，由①和②的结论，用边角边可证△ABO≌△ACO；④由③的结论和已知条件，用边角边可证△ABE≌△ACD．
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，
∴在Rt△ACB和Rt△ACD中
两个直角三角形中有一组斜边和一组直角边分别对应相等，则.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件可知：用定理克证明两个三角形全等．
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵BC=EF为直角边，故对应的斜边为：AB=DE.
故答案为：B.
【分析】根据“HL”的判定方法，由一组直角边和一组斜边对应相等的两个直角三角形全等，据此可确定另外一组边.
6．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：补充，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等可得出答案．
7．【答案】或或
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：①当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
即时间为秒，不合题意舍去；
②当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
③当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
④当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
【分析】本题分两种情况：①当 P在线段上，②当 P在射线上，再分别分和两种情况进行讨论，根据全等三角形边的性质计算出PB的长，继而可得CP的长.
8．【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于H，
因为是的角平分线，，由角平分线的性质，可得，
在和中，，
所以，则，
在和中，，
所以，则，
因为和的面积分别为26和16，
所以，所以.
故答案为：5．
【分析】过点D作，利用角平分线的性质，得到，再利用“”证得和全等，然后根据全等三角形的面积相等，列出方程，即可求解.
9．【答案】7
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD＋BC＝7，
∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
故答案为：7.
【分析】先利用HL证出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得AE＝BC，进而根据线段的和差及等量代换即可求出AB的值.
10．【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9
【分析】根据角平分线的性质可得，根据全等三角形判定定理并结合题意可证，得到，再根据全等三角形判定定理可证，得到，根据线段间的关系加以计算即可求解。
11．【答案】（1）证明： .
.
（2）解：
平分 .
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)本题考察三角形全等的判定，根据已知条件可得，再根据全等三角形中对应角的关系即可证明 ∠BCD=∠AFD ；
（2）本题考查平行线的判定以及角平分线的性质，根据同位角相等，两直线平行可知AF∥BC，再根利用角平分线的性质即可求得FC的长度.
12．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠DEA=90°
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD.
又∵DF=AD.
∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL).
（2）解：AB=BF+2CF
∵Rt△ADE≌Rt△FDC，
∴CF=AE.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
由题知可∠C=∠DEB=90°
∵BD=BD.
∴△EBD≌ △CBD.
∴BE=BC.
∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF
∴AB=BF+2CF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质得到CD= DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADE≌Rt△FDC；
(2)根据全等三角形的性质定理得到BE=BC，根据(1)的结论得到答案.
13．【答案】（1）证明：∵，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用HL得到即可解题；
（2）利用全等可得，然后利用直角三角形的两锐角互余得到，然后根据角的和差求出即可．
14．【答案】（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证△ACE≌△AFE；
（2）在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，根据（1）中的全等三角形可得AC=AF，由线段的构成BF=AB-AF、BE=BC-CE求得BF、BE的值，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于EF的方程，解方程求出EF的值，则CE的值可求解.
15．【答案】（1）解：，，
.
在和中，
，
.
，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先找条件利用HL证明，由全等三角形的性质得到，再利用余角与补角的性质求得，从而求解；
（2）根据三角形全等的性质以及等量代换即可求解.
1 / 1第一章《三角形的证明》2.直角三角形（2）2.直角三角形（2）
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八上·曾都期中）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的周长是（ ）
A．6 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，
∴（角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵
∴
∴
∵
∴
∴的周长
故选：C．
【分析】
本题主要考查等腰直角三角形的性质和角平分线的性质；解题关键是利用角平分线的性质得到全等三角形，进而求出相关线段的长度.
2．（2024八上·汕头期中）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC，连接AO，则图中一共有（ ）对全等三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB=OC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，∠DOB=∠EOC，
∵BO=CO，
在△DOB和△EOC中，
∴△DOB≌△EOC（AAS）；
②由①得：△DOB≌△EOC；∠ADO=∠AEO=90°，
∴OD=OE，BD=CE；
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；
③由②得：△ADO≌△AEO
∴AD=AE，∠DAO=∠EAO；
由①得：△DOB≌△EOC，
∴BD=CE，
∴AD+BD=AE+CE，即AB=AC，
在△AOB和△AOC中，
∴△ABO≌△ACO（SAS）；
④由③得：AD=AE，AC=AB，∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
综上可得：共有四对全等三角形．
故答案为：C．
【分析】共有四对．①结合已知，用角角边可证△DOB≌△EOC；②结合已知和①的结论，用HL定理可证Rt△ADO≌Rt△AEO；③结合已知，由①和②的结论，用边角边可证△ABO≌△ACO；④由③的结论和已知条件，用边角边可证△ABE≌△ACD．
3．（2024八上·香洲期中）如图，已知则可判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，
∴在Rt△ACB和Rt△ACD中
两个直角三角形中有一组斜边和一组直角边分别对应相等，则.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件可知：用定理克证明两个三角形全等．
4．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
5．（2024八下·织金期末）如图，于点，于点，且，如果添上一个条件后，可以直接利用“”来证明≌，则这个条件应该是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵BC=EF为直角边，故对应的斜边为：AB=DE.
故答案为：B.
【分析】根据“HL”的判定方法，由一组直角边和一组斜边对应相等的两个直角三角形全等，据此可确定另外一组边.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八上·江津期中）如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：补充，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等可得出答案．
7．（2024八上·章贡开学考）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）．
【答案】或或
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：①当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
即时间为秒，不合题意舍去；
②当在线段上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
③当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
④当在射线上，时，∵AB=PN，∠ACB=∠PBN=90°，
∴，
则，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
【分析】本题分两种情况：①当 P在线段上，②当 P在射线上，再分别分和两种情况进行讨论，根据全等三角形边的性质计算出PB的长，继而可得CP的长.
8．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为 ．
【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于H，
因为是的角平分线，，由角平分线的性质，可得，
在和中，，
所以，则，
在和中，，
所以，则，
因为和的面积分别为26和16，
所以，所以.
故答案为：5．
【分析】过点D作，利用角平分线的性质，得到，再利用“”证得和全等，然后根据全等三角形的面积相等，列出方程，即可求解.
9．如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则 .
【答案】7
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD＋BC＝7，
∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
故答案为：7.
【分析】先利用HL证出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得AE＝BC，进而根据线段的和差及等量代换即可求出AB的值.
10．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在中，，的平分线交边于点D，于点E，点F在边上，若，，则线段AB的长是 ．
【答案】9
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9
【分析】根据角平分线的性质可得，根据全等三角形判定定理并结合题意可证，得到，再根据全等三角形判定定理可证，得到，根据线段间的关系加以计算即可求解。
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八上·温州期中）如图，四边形ABCD中，AC是对角线，∠D=90°，∠B=∠BCD，AE⊥BC，AD=AE，AB=AF.
（1）求证：∠BCD=∠AFD
（2）若AB=3，求FC的长，
【答案】（1）证明： .
.
（2）解：
平分 .
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)本题考察三角形全等的判定，根据已知条件可得，再根据全等三角形中对应角的关系即可证明 ∠BCD=∠AFD ；
（2）本题考查平行线的判定以及角平分线的性质，根据同位角相等，两直线平行可知AF∥BC，再根利用角平分线的性质即可求得FC的长度.
12．（2024八上·临海期中）如图，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F，在BC上，使DF=AD.
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△FDC.
（2）请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠DEA=90°
∵BD平分∠ABC
∴DE=CD.
又∵DF=AD.
∴Rt△ADE≌Rt△FDC(HL).
（2）解：AB=BF+2CF
∵Rt△ADE≌Rt△FDC，
∴CF=AE.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
由题知可∠C=∠DEB=90°
∵BD=BD.
∴△EBD≌ △CBD.
∴BE=BC.
∴AB=AE+EB=AE+BC=CF+CF+BF=2CF+BF
∴AB=BF+2CF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质得到CD= DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△ADE≌Rt△FDC；
(2)根据全等三角形的性质定理得到BE=BC，根据(1)的结论得到答案.
13．（2024八下·汝城月考）如图，已知相交于点O，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用HL得到即可解题；
（2）利用全等可得，然后利用直角三角形的两锐角互余得到，然后根据角的和差求出即可．
14．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证△ACE≌△AFE；
（2）在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，根据（1）中的全等三角形可得AC=AF，由线段的构成BF=AB-AF、BE=BC-CE求得BF、BE的值，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于EF的方程，解方程求出EF的值，则CE的值可求解.
15．（2024八下·临川月考）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
.
在和中，
，
.
，
，
即.
（2）解：，
.
又，，
.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先找条件利用HL证明，由全等三角形的性质得到，再利用余角与补角的性质求得，从而求解；
（2）根据三角形全等的性质以及等量代换即可求解.
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