第一章《三角形的证明》3 线段的垂直平分线（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·南县）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°，
∵ 平分 ，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°-100°-50°=30°，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
2．（2020·呼伦贝尔）如图， 的垂直平分线 交 于点D，若 ，则 的度数是（ ）
A．25° B．20° C．30° D．15°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，
∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，
故答案为：D．
【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
3．（2018·福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故答案为：A．
【分析】根据已知证明AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论。
4．（2024八上·义乌期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD交EF于点M，连接CM，如图，
∵ EF垂直平分AC，
∴ AM=CM，
∴ C△CDM=AM+DM+CD，
当点A，M，D共线时，AM+DM最小，即△CDM周长取最小值.
∵ △ABC中AB=AC，面积为36，
∴ AD⊥BC，
∵ 面积是36，
∴ AD=12，
∴ C△CDMmin=12+3=15.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AM=CM，根据两点之间线段最短可得当点A，M，D共线时，△CDM周长取最小值，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可求得.
5．（2024八上·石家庄期中）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①.如图，延长交于，
分别为边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
②.∵，
∴，
∵，
∴，②错误；
③.∵，，
∴，
∴，③正确；
④.∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长
，④正确，
∴正确的有①③④．
故选：C．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质.延长交于，根据三角形高的定义可得：，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得：，据此可判断说法①；由，可得：，再利用三角形外角的性质可推出 ，据此可判断说法②；由，利用三角形的内角和定理可得：，进而可得，据此可判断说法③；由，可证明垂直平分，利用垂直平分线的性质可得：，，再利用三角形的周长计算公式和三角形的面积计算公式可得：的周长，据此可判断说法④；
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024·镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的边AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，
∵AC=8，CD=5，
∴BD=AD=AC-CD=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=BD，再利用线段的和差关系求BD=AD=AC-CD.
7．（2020·十堰）如图，在 中， 是 的垂直平分线.若 ， 的周长为13，则 的周长为 .
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 是 的垂直平分线. ，
的周长
故答案为：19
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得 ，从而可得答案.
8．（2021·遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 .
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴ ，
∴△ABD的周长 ，
故答案为：12.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DC，由此可证得△ABD的周长就是AB+AC的值.
9．（2021·锦州）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 ．
【答案】2＋2
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝ AC＝2，
由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝2 ，
∴DB＝DC＝2 ，
∴AB＝AD＋DB＝2＋2 ，
故答案为：2＋2 ．
【分析】先利用垂直平分线的性质和∠B=45°证明∠ADC=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AD和DC的长，最后利用线段的计算求解即可。
10．（2020·南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线 、 相交于点O，若 39°，则 = .
【答案】78°
【知识点】垂线的概念；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接BO并延长，
∵ 、 分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90 ，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90 -39 =51 ，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51 -∠A，∠COF =51 -∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ，
∴51 -∠A+2∠A+2∠C+51 -∠C+39 =180 ，
∴∠A+∠C=39 ，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78 ，
故答案为：78 .
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51 -∠A，∠COF =51 -∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ，计算即可求解.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2017·连云港）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【答案】（1）解：∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
12．（2024·南充）如图，在中，点D为BC边的中点，过点B作交AD的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：，
【答案】（1）证明：为BC的中点，
．
．
在和中，
．
（2）证明：，
∴
垂直平分AE，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证△BDE≌△CDA；
（2）由（1）中的全等三角形可得ED=AD，结合已知可得BD垂直平分AE，然后根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可求解.
13．（2021八上·潍坊月考）如图，在 中， ， 分别垂直平分边 和边 ，交边 于M、N两点， 与 相交于点F．
（1）若 ，求 的周长．
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）解： 、 分别垂直平分 和 ，
， ，
的周长 ；
（2）解： ，
，
， ，
，
，
， ，
， ，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM=CM，BN=CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可。
14．（2020八下·成都期中）如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）求证：BM=CN；
（2）若AB=8，AC=4，求BM的长.
【答案】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）解：由(1)得：BM=CN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴AM=AN，
∵AM=AB-BM，AN=AC+CN，
∴AB-BM=AC+CN，
∴2BM=AB-AC=8-4=4，
∴BM=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 （1）连接BD、CD，利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，利用角平分线的性质得出DM=DN，进而利用HL定理证明△BMD≌△CDN全等即可；
（2）利用（1）的结论，用HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出AM=AN，然后根据线段之间的和差关系推出 2BM=AB-AC，从而求出BM的长．
15．（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
1 / 1第一章《三角形的证明》3 线段的垂直平分线（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·南县）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·呼伦贝尔）如图， 的垂直平分线 交 于点D，若 ，则 的度数是（ ）
A．25° B．20° C．30° D．15°
3．（2018·福建）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．（2024八上·义乌期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
5．（2024八上·石家庄期中）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024·镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ ．
7．（2020·十堰）如图，在 中， 是 的垂直平分线.若 ， 的周长为13，则 的周长为 .
8．（2021·遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 .
9．（2021·锦州）如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 ．
10．（2020·南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线 、 相交于点O，若 39°，则 = .
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2017·连云港）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
12．（2024·南充）如图，在中，点D为BC边的中点，过点B作交AD的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：，
13．（2021八上·潍坊月考）如图，在 中， ， 分别垂直平分边 和边 ，交边 于M、N两点， 与 相交于点F．
（1）若 ，求 的周长．
（2）若 ，求 的度数．
14．（2020八下·成都期中）如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）求证：BM=CN；
（2）若AB=8，AC=4，求BM的长.
15．（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°，
∵ 平分 ，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°-100°-50°=30°，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，
∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，
故答案为：D．
【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故答案为：A．
【分析】根据已知证明AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论。
4．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD交EF于点M，连接CM，如图，
∵ EF垂直平分AC，
∴ AM=CM，
∴ C△CDM=AM+DM+CD，
当点A，M，D共线时，AM+DM最小，即△CDM周长取最小值.
∵ △ABC中AB=AC，面积为36，
∴ AD⊥BC，
∵ 面积是36，
∴ AD=12，
∴ C△CDMmin=12+3=15.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AM=CM，根据两点之间线段最短可得当点A，M，D共线时，△CDM周长取最小值，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可求得.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①.如图，延长交于，
分别为边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，①正确；
②.∵，
∴，
∵，
∴，②错误；
③.∵，，
∴，
∴，③正确；
④.∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长
，④正确，
∴正确的有①③④．
故选：C．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质.延长交于，根据三角形高的定义可得：，利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得：，据此可判断说法①；由，可得：，再利用三角形外角的性质可推出 ，据此可判断说法②；由，利用三角形的内角和定理可得：，进而可得，据此可判断说法③；由，可证明垂直平分，利用垂直平分线的性质可得：，，再利用三角形的周长计算公式和三角形的面积计算公式可得：的周长，据此可判断说法④；
6．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的边AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，
∵AC=8，CD=5，
∴BD=AD=AC-CD=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=BD，再利用线段的和差关系求BD=AD=AC-CD.
7．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 是 的垂直平分线. ，
的周长
故答案为：19
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得 ，从而可得答案.
8．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴ ，
∴△ABD的周长 ，
故答案为：12.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DC，由此可证得△ABD的周长就是AB+AC的值.
9．【答案】2＋2
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝ AC＝2，
由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝2 ，
∴DB＝DC＝2 ，
∴AB＝AD＋DB＝2＋2 ，
故答案为：2＋2 ．
【分析】先利用垂直平分线的性质和∠B=45°证明∠ADC=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AD和DC的长，最后利用线段的计算求解即可。
10．【答案】78°
【知识点】垂线的概念；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接BO并延长，
∵ 、 分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90 ，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90 -39 =51 ，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51 -∠A，∠COF =51 -∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ，
∴51 -∠A+2∠A+2∠C+51 -∠C+39 =180 ，
∴∠A+∠C=39 ，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78 ，
故答案为：78 .
【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51 -∠A，∠COF =51 -∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ，计算即可求解.
11．【答案】（1）解：∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
12．【答案】（1）证明：为BC的中点，
．
．
在和中，
．
（2）证明：，
∴
垂直平分AE，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证△BDE≌△CDA；
（2）由（1）中的全等三角形可得ED=AD，结合已知可得BD垂直平分AE，然后根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可求解.
13．【答案】（1）解： 、 分别垂直平分 和 ，
， ，
的周长 ；
（2）解： ，
，
， ，
，
，
， ，
， ，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM=CM，BN=CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可。
14．【答案】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）解：由(1)得：BM=CN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴AM=AN，
∵AM=AB-BM，AN=AC+CN，
∴AB-BM=AC+CN，
∴2BM=AB-AC=8-4=4，
∴BM=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 （1）连接BD、CD，利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，利用角平分线的性质得出DM=DN，进而利用HL定理证明△BMD≌△CDN全等即可；
（2）利用（1）的结论，用HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出AM=AN，然后根据线段之间的和差关系推出 2BM=AB-AC，从而求出BM的长．
15．【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
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