第一章《三角形的证明》3 线段的垂直平分线（2）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2021·盘锦）如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于 的说法正确的是（ ）
A． ≥ B． ≤ C． D．
2．（2021·长春）在 中， ， ．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使 为等腰三角形．下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·济南）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
5．（2022·毕节）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线交于点D，交于点E，连接.则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2022·衡阳）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的周长为 .
7．（2022·达州）如图，在 中， ， ，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线 ，交 于点D，连接 ，则 的度数为 .
8．（2022·枣庄）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ．
9．（2021·眉山）如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交 于点 ，则 的长为 .
10．（2020·潍坊）如图，在 中， ， ， 垂直平分 ，垂足为Q，交 于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线 ．若 与 的夹角为 ，则 °．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2021·绥化）
（1）如图，已知 为边 上一点，请用尺规作图的方法在边 上求作一点 ．使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果 ，则 的周长是 ．
12．（2024·绥化）已知： .
（1）尺规作图： 画出 的重心 . (保留作图痕迹， 不要求写作法和证明)
（2）在 (1) 的条件下， 连接 . 已知 的面积等于 ， 则 的面积是 .
13．（2022·山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
14．（2018·孝感）如图， 中， ，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作 的平分线 交 于点 ；
②作边 的垂直平分线 ， 与 相交于点 ；
③连接 ， .
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段 ， ， 之间的数量关系是 ；
（2）若 ，求 的度数.
15．（2024·威海）
（1）感悟 如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．
（2）应用 ：
①如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；
②如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，分别以点 和点 为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点 ，此时 ，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的作法可知：a需要大于等于DE的一半。
2．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作∠BAC平分线，在 中， ， ，无法得出 为等腰三角形，符合题意；
B．此作图可直接得出CA＝CD，即 为等腰三角形，不符合题意；
C．此作图是作AC边的中垂线，可直接得出AD＝CD，不符合题意；
D．此作图是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线， 为等腰三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据作等腰三角形的方法对每个选项一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故答案为：B．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的性质，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，MN垂直平分线段AC，
∴，，
所以B、C、D正确，
因为点B的位置不确定，
所以不能确定AB=AE.
故答案为： A.
【分析】由题意得：MN垂直平分线段AC，然后根据线段垂直平分线的性质判断即可.
6．【答案】23
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=8+15=23.
故答案为：23.
【分析】利用作图可知MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质可证得AD=BD，由此可得到△ACD的周长就是AC+BC，代入计算可求出△ACD的周长.
7．【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图步骤可知：MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵∠B=20°，
∴∠DAB=∠B=20°，
又∵∠C=90°，
∴∠CAD=90°-2∠B=90°-40°=50°.
故答案为：50°.
【分析】由作图步骤可知MN垂直平分AB，由垂直平分线性质得DA=DB，继而求得∠DAB=∠B=20°，再由角的互余关系，求得∠CAD的度数即可.
8．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BM．
由作图可知MN垂直平分线段BD，
∴BM＝DM＝5．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB．
∴BC＝＝＝4．
∴BD＝＝＝．
∴OB＝OD＝．
∵∠MOD＝90°，
∴OM＝＝＝．
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO．
在△MDO和△NBO中，
∴△MDO≌△BNO（ASA）．
∴OM＝ON＝．
∴MN＝．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
9．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， 平分
∴ ，且 ，（等腰三角形“三线合一”）
∴ ，
由分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，可知，MN垂直平分AC，
如图，连接CE，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴ 的长为 ；
故答案为： .
【分析】根据等腰三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD，由作图过程可知MN为AC的垂直平分线，连接CE，由垂直平分线的性质求出CE，最后在Rt△EDC中，利用勾股定理求DE即可.
10．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
，
，
，
∵ 是 的平分线，
，
是 的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
∵∠α与∠1是对顶角，
．
故答案为：55°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出 ．
11．【答案】（1）解：作法：如图所示，
①连接 （用虚线），
②作 的垂直平分线交 于 ，
③标出点 即为所求，
（2）9
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）∵ ，
∴ ，
∴ 的周长＝ 9．
【分析】（1）连接PC，作线段PC的垂直平分线MN交AC于点E，连接PE，点E即为所求；
（2）证明△PAE的周长=PA+AC即可。
12．【答案】（1）解：先作出AC，BC的垂直平分线，找出AC，BC的中点F，D连接AD，BF的交点即为点G
（2）15
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线；三角形的中线
【解析】【解答】解：（2）∵点G是的重心，
∴
∴
∴
∴
∴(cm2)
∵F为AC的中点
∴
故答案为15.
【分析】先根据重心的性质，得出，求出的面积，再根据中点的性质，从而求出的面积.
13．【答案】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先证明可得。
14．【答案】（1）PA=PB=PC
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-2×70°=40°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案为：PA=PB=PC；
【分析】（1）如图，PA=PB=PC，理由是：根据等腰三角形的三线合一，由AB=AC，AM平分∠BAC，得出AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出PB=PC，PA=PB，由等量代换得出结论；
（2）根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=70°，根据三角形的内角和得出∠BAC的度数，根据角平分线的定义及等边对等角得出∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，根据三角形的外角定理即可得出答案。
15．【答案】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BE于点H，
∵AB＝AE，
∴AH平分∠BAE，BH=EH，
∴∠BAH＝∠EAH，
∵BC＝DE，
∴CH=DH，
∴AH垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AH平分∠CAD，
∴∠CAH＝∠DAH，
∴∠BAC＝∠DAE；
（2）解：①如图2，点D，E即为所求；
②如图3，点D，E即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-平行线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的“三线合一”得AH平分∠BAE，BH=EH，从而有∠BAH=∠EAH，CH=DH，进而求出AH垂直平分CD，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”的AH平分∠CAD，利用角平分线的定义得∠CAH＝∠DAH，最后根据角的和差关系即可得证；
（2）①由（1）可知，以A为圆心，AB、AC分别为半径作圆交BC于点E、D即可求解；
②延长AC，在延长线上取一点D，使DC=AC，接下来作∠CDE=∠BAC即可求解.
1 / 1第一章《三角形的证明》3 线段的垂直平分线（2）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2021·盘锦）如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于 的说法正确的是（ ）
A． ≥ B． ≤ C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，分别以点 和点 为圆心，以 为半径作弧，两弧交于点 ，此时 ，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的作法可知：a需要大于等于DE的一半。
2．（2021·长春）在 中， ， ．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使 为等腰三角形．下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A．此作图是作∠BAC平分线，在 中， ， ，无法得出 为等腰三角形，符合题意；
B．此作图可直接得出CA＝CD，即 为等腰三角形，不符合题意；
C．此作图是作AC边的中垂线，可直接得出AD＝CD，不符合题意；
D．此作图是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线， 为等腰三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据作等腰三角形的方法对每个选项一一判断即可。
3．（2022·长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故答案为：B．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
4．（2022·济南）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的性质，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
5．（2022·毕节）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线交于点D，交于点E，连接.则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，MN垂直平分线段AC，
∴，，
所以B、C、D正确，
因为点B的位置不确定，
所以不能确定AB=AE.
故答案为： A.
【分析】由题意得：MN垂直平分线段AC，然后根据线段垂直平分线的性质判断即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2022·衡阳）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的周长为 .
【答案】23
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=8+15=23.
故答案为：23.
【分析】利用作图可知MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质可证得AD=BD，由此可得到△ACD的周长就是AC+BC，代入计算可求出△ACD的周长.
7．（2022·达州）如图，在 中， ， ，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线 ，交 于点D，连接 ，则 的度数为 .
【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图步骤可知：MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵∠B=20°，
∴∠DAB=∠B=20°，
又∵∠C=90°，
∴∠CAD=90°-2∠B=90°-40°=50°.
故答案为：50°.
【分析】由作图步骤可知MN垂直平分AB，由垂直平分线性质得DA=DB，继而求得∠DAB=∠B=20°，再由角的互余关系，求得∠CAD的度数即可.
8．（2022·枣庄）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BM．
由作图可知MN垂直平分线段BD，
∴BM＝DM＝5．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB．
∴BC＝＝＝4．
∴BD＝＝＝．
∴OB＝OD＝．
∵∠MOD＝90°，
∴OM＝＝＝．
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO．
在△MDO和△NBO中，
∴△MDO≌△BNO（ASA）．
∴OM＝ON＝．
∴MN＝．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。
9．（2021·眉山）如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交 于点 ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， 平分
∴ ，且 ，（等腰三角形“三线合一”）
∴ ，
由分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，可知，MN垂直平分AC，
如图，连接CE，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴ 的长为 ；
故答案为： .
【分析】根据等腰三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD，由作图过程可知MN为AC的垂直平分线，连接CE，由垂直平分线的性质求出CE，最后在Rt△EDC中，利用勾股定理求DE即可.
10．（2020·潍坊）如图，在 中， ， ， 垂直平分 ，垂足为Q，交 于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线 ．若 与 的夹角为 ，则 °．
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
，
，
，
∵ 是 的平分线，
，
是 的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
∵∠α与∠1是对顶角，
．
故答案为：55°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2021·绥化）
（1）如图，已知 为边 上一点，请用尺规作图的方法在边 上求作一点 ．使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果 ，则 的周长是 ．
【答案】（1）解：作法：如图所示，
①连接 （用虚线），
②作 的垂直平分线交 于 ，
③标出点 即为所求，
（2）9
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）∵ ，
∴ ，
∴ 的周长＝ 9．
【分析】（1）连接PC，作线段PC的垂直平分线MN交AC于点E，连接PE，点E即为所求；
（2）证明△PAE的周长=PA+AC即可。
12．（2024·绥化）已知： .
（1）尺规作图： 画出 的重心 . (保留作图痕迹， 不要求写作法和证明)
（2）在 (1) 的条件下， 连接 . 已知 的面积等于 ， 则 的面积是 .
【答案】（1）解：先作出AC，BC的垂直平分线，找出AC，BC的中点F，D连接AD，BF的交点即为点G
（2）15
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线；三角形的中线
【解析】【解答】解：（2）∵点G是的重心，
∴
∴
∴
∴
∴(cm2)
∵F为AC的中点
∴
故答案为15.
【分析】先根据重心的性质，得出，求出的面积，再根据中点的性质，从而求出的面积.
13．（2022·山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先证明可得。
14．（2018·孝感）如图， 中， ，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作 的平分线 交 于点 ；
②作边 的垂直平分线 ， 与 相交于点 ；
③连接 ， .
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段 ， ， 之间的数量关系是 ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）PA=PB=PC
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-2×70°=40°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案为：PA=PB=PC；
【分析】（1）如图，PA=PB=PC，理由是：根据等腰三角形的三线合一，由AB=AC，AM平分∠BAC，得出AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出PB=PC，PA=PB，由等量代换得出结论；
（2）根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=70°，根据三角形的内角和得出∠BAC的度数，根据角平分线的定义及等边对等角得出∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，根据三角形的外角定理即可得出答案。
15．（2024·威海）
（1）感悟 如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．
（2）应用 ：
①如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；
②如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BE于点H，
∵AB＝AE，
∴AH平分∠BAE，BH=EH，
∴∠BAH＝∠EAH，
∵BC＝DE，
∴CH=DH，
∴AH垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AH平分∠CAD，
∴∠CAH＝∠DAH，
∴∠BAC＝∠DAE；
（2）解：①如图2，点D，E即为所求；
②如图3，点D，E即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；尺规作图-平行线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的“三线合一”得AH平分∠BAE，BH=EH，从而有∠BAH=∠EAH，CH=DH，进而求出AH垂直平分CD，根据垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”的AH平分∠CAD，利用角平分线的定义得∠CAH＝∠DAH，最后根据角的和差关系即可得证；
（2）①由（1）可知，以A为圆心，AB、AC分别为半径作圆交BC于点E、D即可求解；
②延长AC，在延长线上取一点D，使DC=AC，接下来作∠CDE=∠BAC即可求解.
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